2020-2021上海中考数学压轴题专题复习——一元二次方程组的综合

2020-2021上海中考数学压轴题专题复习——一元二次方程组的综合

一、一元二次方程 1．解下列方程：

（1）x2﹣3x=1． （2）

1（y+2）2﹣6=0． 23?133?13 ;(2)y1??2?23,y2??2?23 ,x2?22【答案】(1)x1?【解析】

试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；

试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0， ∵b2﹣4ac=13＞0 ∴∴x1?．

3?133?13,x2?22或

．

（2）（y+2）2=12， ∴

，

∴y1??2?23,y2??2?23

2．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴x2﹣7x+12﹣m2=0，

∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵m2≥0， ∴△＞0，

∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是2，

∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±即m的值为±【点睛】

，

∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，

，方程的另一个根是5．

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

3．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；

（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 【答案】（1）x1??3,x2?4（2）a≤（3）-4 【解析】

分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．

详解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；

（2）∵方程有两个实数根x1，x2，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得

54：a?5； 4 （3）∵x1，x2是方程的两个实数根，

2x12?x1?a?1?0，x22?x2?a?1?0，?x1?x12?a?1，x2?x2?a?1．

22???2?x?x2?x?x ∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴?1122?????9，把

2x1?x12?a?1，x2?x2?a?1 代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：

a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4．

点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．

4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．

+

+ x1+x2，S的值能为2吗？

【解析】

试题分析：（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=

有一个解；

②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）2-4×2（k-1）=4k2-8k＋8=\ ＋4＞0 方程有两不等根

综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （2）∵x ?＋x ?＝∴S==

+

+ x1+x2

,x ? x ?=

=

=

==2k-2=2， 解得k=2，

∴当k=2时，S的值为2 ∴S的值能为2，此时k的值为2．

考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．

5．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？

（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.

【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x的值为2或7. 【解析】 【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】

（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克, b元/千克.

a?b?18? 由题得：?3a?4?4b?2?82??????a?10 解之得：?b?8?答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：?4?x??100?10x???2?x??140?10x??960 解之得：x1?2，x2?7

经检验，x1?2，x2?7均符合题意 答：x的值为2或7. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.

6．已知关于x的一元二次方程x??m?2?x?m?0（m为常数）

2（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；

(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】

（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2?4×1?m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=和m的方程组即可. 【详解】 (1)证明：

△=(m+2)2?4×1?m=m2+4， ∵无论m为何值时m2≥0， ∴m2+4≥4＞0， 即△＞0，

所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.

m?2

,2t=m,最终解出关于t1

(2)设方程的另一个根为t，

x2??m?2?x?m?0

根据题意得2+t=解得t=0， 所以m=0，

即m的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】

本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.

m?2 ,2t=m， 1

7．已知两条线段长分别是一元二次方程x2?8x?12?0的两根， （1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。 8【答案】（1）2和6；（2）22；（3）

3【解析】 【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x和6?x，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可. 【详解】

解：（1）由题意得?x?2??x?6??0， 即：x?2或x?6， ∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3， 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：32?12=22 ∴此等腰三角形面积为

1?2?22=22． 2（3）设分为x及6?x两段

x2?22??6?x?

∴x?28， 32x8?， 23∴S??