综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（或（
725，）361725，﹣）．
33点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．
3．如图所示，抛物线y?ax2?bx?c的顶点为M??2,?4?，与x轴交于A、B两点，且
A??6,0?，与y轴交于点C．
?1?求抛物线的函数解析式；
?2?求ABC的面积；
?3?能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使
P的坐标；若不能，请说明理由．
APC的面积最大？若能，请求出点
【答案】?1? y?标是P??3,?【解析】 【分析】
12x?x?3；?2?12；?3?当x??3时，S4APC有最大值27，点P的坐4??15??． 4?(1)设顶点式并代入已知点A??6,0?即可；
(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样的点，过点P作PE?x轴于点E，交AC于点F，线段PF的长度即为两函数值之差，将APC的面积计算拆分为S【详解】
APF?SCPF即可.
?1?设此函数的解析式为y?a(x?h)2?k， ∵函数图象顶点为M??2,?4?，
∴y?a(x?2)2?4， 又∵函数图象经过点A??6,0?， ∴0?a(?6?2)2?4 解得a?1， 411(x?2)2?4，即y?x2?x?3； 44∴此函数的解析式为y??2?∵点C是函数y?1x2?x?3的图象与y轴的交点，
4∴点C的坐标是?0,?3?， 又当y?0时，有y?12x?x?3?0， 4解得x1??6，x2?2， ∴点B的坐标是?2,0?， 则SABC?11AB?OC??8?3?12； 22?3?假设存在这样的点，过点P作PE?x轴于点E，交AC于点F．
设E?x,0?，则P?x,??12?x?x?3?， 4?
设直线AC的解析式为y?kx?b， ∵直线AC过点A??6,0?，C?0,?3?，
??6k?b?0∴?，
?3?b?1?k???解得?2，
??b??3∴直线AC的解析式为y??∴点F的坐标为F?x,?则PF??∴S1x?3， 2??1?x?3?， 2?113?1?x?3??x2?x?3???x2?x， 242?4?APFAPC?S?SCPF?11PF?AE?PF?OE 22?11?13?39327PF?OA???x2?x??6??x2?x??(x?3)2?， 22?42?4244APC有最大值
∴当x??3时，S27， 4此时点P的坐标是P??3,?【点睛】
??15??． 4?本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.
4．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
【答案】（1）y?1224863x?x?3，顶点D（2，?）；（2）C（?410，0）或5559775，0）；（3） 102（5?222，0）或（【解析】 【分析】
b?2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数2a2
的表达式为：y=ax+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；
（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x??（3）由S△PAB?【详解】
（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x??1?PH?xB，即可求解． 2b?2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函2a2
数的表达式为：y=ax+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解
得：a?124812248x?x﹣3． ，b??，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y?55556363，即顶点D的坐标为（2，?）； 55当x=2时，y??（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论： ①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；
②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5?222，即：点C坐标为（5?222，0）或（5﹣222，0）；
③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=（
97，则点C坐标为1097，0）． 1097，0）； 10综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5?222，0）或（
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k?1212x﹣3，设点P坐标为（m，，故函数的表达式为：y?55122481215m?m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△PAB??PH?xB?55522（?51225275m+12m）=－6m2+30m=?6(m?)?，当m=时，S△PAB取得最大值为：522275． 2答：△PAB的面积最大值为
75． 2
【点睛】
本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
2【答案】（1）y?x?2x?3；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；
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