高考复习·讲练测
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专题3.3 函数与导数的综合应用 （精讲）
【考情分析】
1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题。 【典型题分析】
高频考点一 利用导数证明不等式
例1.【2020年高考江苏】已知关于x的函数y?f(x),y?g(x)与h(x)?kx?b(k,b?R)在区间D 上恒有f(x)?h(x)?g(x)．
22??)，求h(x)的表达式； （1）若f?x??x?2x，g?x?? ?x?2x，D?(??，??)，求k的取值范围； （2）若f(x)? x2?x?1，g(x)? klnx，h(x)? kx?k,D? (0，422342（3）若f(x)? x?2x，g(x)? 4x?8 ，h(x)? 4t?tx? 3t? 2t(0? t?2)，??D? ?m, n????2,2?，??求证：n?m?7．
【举一反三】【2019年高考天津】设函数f(x)?ecosx,（Ⅰ）求f?x?的单调区间；
（Ⅱ）当x??,?时，证明f(x)?g(x)??x??0；
242（Ⅲ）设xn为函数u(x)?f(x)?1在区间?2n??xg(x)为f?x?的导函数．
????????????????,2n???内的零点，其中n?N，证明42??e?2n?． 2n???xn?2sinx0?cosx0ln xae1
【变式探究】(2019·山东师大附属中学模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x＋－bx(e为自然对数的底
xex数)，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1)求a，b的值；
2
(2)求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.
x高频考点二 不等式恒成立
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例2.【2019年高考浙江】已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0.
3时，求函数f(x)的单调区间； 4x1f(x)?, 求a的取值范围． 均有,??)2ae2（2）对任意x?[注：e=2.71828…为自然对数的底数．
【方法技巧】
1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围。
2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围。
【变式探究】（2019·湖北黄冈中学模拟）已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R). (1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)函数g(x)＝(1－a)x，若?x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围. 高频考点三 判断零点的个数
x例3. 【2020·浙江】已知1?a?2，函数f?x??e?x?a，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数y?f?x?在(0,??)上有唯一零点； （Ⅰ）记x0为函数y?f?x?在(0,??)上的零点，证明：
（Ⅰ）a?1?x0?2(a?1)； （Ⅰ）x0f(ex0)?(e?1)(a?1)a．
【举一反三】(2019·湖北合肥一中质检)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式；
f（x）
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数.
x
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【方法技巧】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
mx
【变式探究】 (2019·山西平遥中学模拟)设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
x3高频考点四 由函数零点个数求参数 例4. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
【方法技巧】根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．
【变式探究】 (2019·河北衡水第一中学调研)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0). (1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围. 高频考点五 函数零点的综合问题
例4. 【2020·全国Ⅰ卷】设函数f(x)?x3?bx?c，曲线y?f(x)在点(与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．
【举一反三】【2019·江苏】设函数f(x)?(x?a)(x?b)(x?c),a,b,c?R、f'(x)为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{?3,1,3}中，求f（x）的极小值； （3）若a?0,0?b1,c?1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤
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11，f())处的切线 224． 27高考复习·讲练测
【举一反三】 (2018·江苏卷)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和.
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