2．2.2 事件的相互独立性
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ 提示：不影响．
问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)． 31
提示：P(A)＝，P(B)＝，
52
P(AB)＝
3×23＝. 5×410
问题3：P(B|A)与P(B)相等吗？ 3101PAB提示：因为P(B|A)＝＝＝，
PA32
5所以P(B|A)与P(B)相等． 问题4：P(AB)与P(A)P(B)相等吗？ 提示：因为P(B|A)＝PAB＝P(B)， PA所以P(AB)与P(A)P(B)相等． 1．相互独立事件的概念 设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 2．相互独立事件的性质 (1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． (2)如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．
1．相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响，也就是若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，且P(A|B)＝P(A)，因而有P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
2．定义的推广：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立.
相互独立事件的判断 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件． (1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”． (2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”． (1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．
(2)基本事件空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，
3121∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，
6263
P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)．
故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)利用性质：A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (3)有时通过计算P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件相互独立．
下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”；事件N：“第二次摸到白球”．
(2)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”；事件N：“第二次摸到黑球”．
解：(1)根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与
161123
N是相互独立事件．
(2)由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，但不会造成“再从中任意取1球是黑球”的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不是相互独立事件.
相互独立事件的概率
2
掷三枚骰子，试求：
(1)没有一枚骰子出现1点或6点的概率； (2)恰好有一枚骰子出现1点或6点的概率．
记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件A，B，C，由已知A，B，C是1
相互独立事件，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
3
(1)没有一枚骰子出现1点或6点，也就是事件A，B，C全不发生，即事件A B C， 2228所以所求概率为P(A B C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝××＝.
33327
(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点，即A，B，C恰有一个发生，用符号表示为事件A
B C＋AB C＋A BC，所求概率为
P(A B C＋A B C＋A B C)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝××＋××＋××＝
4. 9
1．公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝
13
23
23
23
13
23
23
23
13
P(A1)P(A2)…P(An)．
2．用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： (1)用恰当的字母表示题中有关事件； (2)根据题设条件，分析事件间的关系；
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4)利用乘法公式计算概率．
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
3
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”． (1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A B)∪(AB)，则P(D)＝P(A B)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
相互独立事件概率的实际应用 43
某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的557
概率为.
10
求：(1)恰有一名同学当选的概率； (2)至多两人当选的概率．
设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B和C. 437
∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
5510
(1)因为事件A，B，C相互独立，恰有一名同学当选的概率为P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) 42313312747＝××＋××＋××＝. 551055105510250(2)至多有两人当选的概率为 43783
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
5510125 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
解：如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
4
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