圆锥曲线中的面积问题
一、基础知识：
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）
x2y2（1）椭圆：设P为椭圆2?2?1?a?b?0?上一点，且?F1PF2??，则
abSVPF1F2?b2tan?2
x2y2（2）双曲线：设P为椭圆2?2?1?a,b?0?上一点，且?F1PF2??，则
abSVPF1F2?b2?1cot?2
二、典型例题： 例1：设F1,F2为椭圆
uuuruuuur当四边形PF1QF2的面积最大时，PF1?PF2的值等于___________
x2过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点，?y2?1的左右焦点，
4思路：由椭圆中心对称的特性可知P,Q关于原点中心对称，所以VPF1F2与VQF1F2关于原点对称，面积相等。且四边形PF1QF2可拆成VPF1F2与VQF1F2的和，所以四边形PF1QF2的面积最大即VPF1F2面积最大，因为SVPF1F2?1F1F2?yp?c?yp，所以当yp最大时，22xVPF1F2面积最大。即P位于短轴顶点时，VPF1F2面积最大。由?y2?1可知4
a?2,b?1,c?3，所以P?0,1?,F1?3,0,F2答案：?2
???uuuruuuur3,0，进而计算出PF1?PF2的值为?2
?例2：已知点P是椭圆16x?25y?1600上的一点，且在x轴上方，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为?43，则VPF1F2的面积是（ ）
A. 323 B. 243 C. 322 D. 242
22x2y2??1，进而可得c?6，所以F1??6,0?,F2?6,0?，思路：将椭圆化为标准方程为
10064计算VPF1F2的面积可以以F1F2为底，Py为高，所以考虑利用条件计算出P的纵坐标，
设P?x,y?，则有kPF2?16x2?25y2?1600?y?y可解得y?43或???43，所以???43x?6?x?6??y?0y??64311（舍去），所以SVPF1F2?F1F2?y??12?43?243 1922答案：B
2例3：已知F为抛物线y?x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
uuuruuurOA?OB?2，则VABO与VAFO面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C.
172 D. 10 8uuuruuur思路：由OA?OB?2入手可考虑将向量坐标化，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1x2?y1y2?2，进而想到可用韦达定理。所以设AB与x轴交于M?m,0?直线
AB:x?ty?m。联立方程
?y2?x?y2?ty?m?0??x?ty?m，所以
2y1y2??m?0,x1x2?y12y2?m2，所以由x1x2?y1y2?2可得：m2?m?2?m?2，所
以
y1y2??2，不妨设
A在
x轴上方，如图可得：
SVABO?SVAFO?2119OM??y1?y2??OF?y1?y1?y2，由y1y2??2可知y2??，
y1228
消元后可得：SVABO?SVAFO?92924y1??2y1??3，等号成立当且仅当y1?，所
38y18y1以SVABO?SVAFO的最小值为3 答案：B
2例4：抛物线y?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴
上方的部分相交于点A，AK?l，垂足为K，则VAFK的面积是（ ） A. 4 B. 33 C. 43 D. 8 思路：斜率为3可知直线的倾斜角为??，从而可得?KAF?，
33所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得
SVAKF?1?AK?AFsin，由抛物线性质可得AK?AF，所23以只需求得焦半径AF，即只需解出A点横坐标。利用几何关系可
1AF，另一方面，由焦半径公式可21得：AF?xA?1，所以可得方程：xA?OF??xA?1??xA?3，从而
21?2AF?xA?1?4，所以SVAKF?AFsin?43 23得xA?OF?FM?OF?答案：C
小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角
?，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使3得运算更为简单。
（2）本题的xA也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：F?1,0?，设l:y?3?x?1?，联立方程：
2?2?y?4x?3x?1?4x，整理可得： ?????y?3?x?1?13x2?10x?3?0 ?x?3或x?
3
1?x?????x?33或?（舍） ?xA?3 ???y?23?y??23??3?x2y2??1的顶点为焦点，例5：以椭圆焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别为F1,F2，95已知点M的坐标为
?2,1?，双曲线C上点P?x0,y0??x0?0,y0?0?满足
uuuruuuuruuuuruuuurPF1?MF1F2F1?MF1?uuuuuuurr，则SVPMF1?SVPMF2等于（ ）
PF1F2F1A. 2 B. 4 C. 1 D. ?1
x2y2??1的顶点为??3,0?,?3,0?，思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，95即为F1,F2的坐标，椭圆的焦点为??2,0?,?2,0?，所以双曲线中a?2,c?3，进而b?5 uuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuurPF1?MF1F2F1?MF1?uuuu观察uuurr可联想到投影，即MF1在PF1的投影与MF1在F2F1的投影相
PF1F2F1等，由几何关系可得F1M为?PF1F2的角平分线。由M?2,1?,F2?3,0?可得kMF2??1，即
F2M平分?PF2F1，从而M为VPF1F2的内心，且内切圆半径r?yM?1。从而
SVPMF1?SVPMF2?答案：A
111PF1?r?PF2?r?r?PF1?PF2??2 222x2y2例6：已知点P为双曲线2?2?1?a?0,b?0?右支上一点，F1,F2分别是双曲线的左
abb2右焦点，且F1F2?，I为三角形PF1F2的内心，若SVIPF1?SVIPF2??SVIF1F2成立，则?a的值为（ ） A.
1?22 B. 23?1 C. 22?1 D. 2?1
思路：由三角形内心的性质可得I到三边的距离相等，所以
VIPF1,VIPF2,VIF1F2的高均为
r，从而
SVIPF1?SVIPF2??SVIF1F2?PF1?PF2??F1F2，即??b2用F1F2?确定a,c的关系即可。
a解：QI为三角形PF1F2的内心 ?SVIPF1?F1F2PF1?PF2?c，所以只需利a111PF1?r,SVIPF2?PF2?r,SVIF2F1?F2F1?r 222SVIPF1?SVIPF2??SVIF1F2?PF1?PF2??F1F2
??F1F2?PF1?PF2 QP在双曲线上，且F1,F2是焦点
uuuurc?PF1?PF2?2a,F1F2?2c ???即?为离心率
ab2b2?2ac?c2?a2，两边同时除以a2得： 由F1F2?可得：2c?aae2?2e?1?0，解得e?答案：C
2?22 ?e?2?1即??2?1 23x2y2例7：已知点A?0,?2?，椭圆E:2?2?1?a?b?0?的离心率为，F是椭圆E的
2ab右焦点，直线AF的斜率为（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点，当VOPQ面积最大时，求l的方程 解：（1）设F?c,0? ?kAF?23，O为坐标原点 3223? ?c?3 c3Qe?c32c??2 ?b2?a2?c2?1 ?a?a23x2?E:?y2?1
4思路：首先设PQ:y?kx?2，P?x1,y1?,Q?x2,y2?，由图像可得SVOPQ?1dO?PQ?PQ，2
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