第4讲 函数及其表示
课时达标
一、选择题
1．函数y＝ln(x－x)＋4－2的定义域为( ) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)
??x－x>0，
B 解析 由已知得?x?4－2≥0?
2
2
xB．(－∞，0)∪(1,2] D．(－∞，2)
??x<0或x>1，
??
?x≤2?
?x∈(－∞，0)∪(1,2]．故选B.
2．(2019·广州模拟)设函数f(x)满足f?A.2
1＋x2
?1－x?＝1＋x，则f(x)的表达式为( )
??1＋x?
B.D.22 1＋x1－x 1＋x1－xC.2 1＋x1－x1－t?1－x?＝1＋x，得f(t)＝1＋1－t＝2，即A 解析 令＝t，则x＝，代入f??1＋x1＋t1＋t1＋t?1＋x?
f(x)＝
2
.故选A. 1＋x??cos πx，x≤1，
3．已知f(x)＝?
?f(x－1)＋1，x>1，?
?4??4?则f??＋f?－?的值为( )
?3??3?
1B．－ 2D．1
1A. 2C．－1
1?4??4???4???4?1
D 解析 f??＋f?－?＝cos??－1?π?＋1＋cos?－π?＝＋1－＝1.
2?3??3???3???3?21?????2?x，x≤0，
4．已知f(x)＝???
??log3x，x>0，1
A. 2C．3
1
设a＝log3，则f(f(a))＝( )
2
B．2 D．－2
11
A 解析 －1 22 5．(2019·福州调研)设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 019)＝ ( ) A．0 B．1 1 C．2 019 D．2 020 D 解析 令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 019)＝2 020. 1，x＞0，?? 6．设x∈R，定义符号函数sgn x＝?0，x＝0， ??－1，x＜0，A．|x|＝x|sgn x| C．|x|＝|x|sgn x 则( ) B．|x|＝xsgn |x| D．|x|＝xsgn x D 解析 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C项．故选D. 二、填空题 f(2x－1) 7．若函数f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝的定义域是________． lg(x－1) 解析 因为y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，所以－1≤x＋1≤4，所以f(x)的定义域是－1≤2x－1≤4?? [－1,4]，所以?x－1>0， ??x－1≠1， 5 所以1 2 ?5?答案 (1,2)∪?2，? ?2? 2－1，x≤0，?? 8．函数f(x)＝?1 x，x>0，??2 ??a≤0， 解析 由已知得?a?2－1>3? x 若f(a)>3，则a的取值范围是________． a>0，?? 或?1 a>3，??2 2 解得a>9. 答案 (9，＋∞) 9．(2019·常州中学月考)若函数y＝是________． 解析 因为函数y＝ ax＋1 的定义域为R，则实数a的取值范围 ax＋2ax＋3 ax＋12 的定义域为R，所以ax＋2ax＋3＝0无实数解，即函数 ax＋2ax＋3 2y1＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数y1＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)－4×3a＜0，解得0＜a＜3.综上所述，a的取值范围是[0,3)． 答案 [0,3) 2 2 三、解答题 10．设函数f(x)＝???ax＋b，x<0， ??2x，x≥0， 且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象． 解析 (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得?? ? －2a＋b＝3，??－a＋b＝2， 解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝???－x＋1，x<0， ??2x，x≥0. (2)f(x)的图象如图所示． 11．(2019·巴蜀中学期中)已知f(x)＝x2 －1，g(x)＝??? x－1，x＞0，??2－x，x＜0. 3 (1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式． 解析 (1)由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x＞0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)－1＝x－2x；当x＜0时，g(x)＝2 ??x－2x，x＞0， －x，故f(g(x))＝(2－x)－1＝x－4x＋3.所以f(g(x))＝?2 ??x－4x＋3，x＜0. 2 2 2 2 2 当x＞1或 x＜－1时，f(x)＞0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g(f(x)) ??x－2，x＞1或x＜－1，2 ＝2－f(x)＝3－x.所以g(f(x))＝?2 ?3－x，－1＜x＜1.? 2 2 12．已知函数f(x)＝x＋mx＋n(m，n∈R)，f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根． (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的值域． 解析 (1)因为f(x)＝x＋mx＋n，且f(0)＝f(1)， 所以n＝1＋m＋n，所以m＝－1，所以f(x)＝x－x＋n. 因为方程x＝f(x)有两个相等的实数根， 所以方程x＝x－x＋n有两个相等的实数根， 即方程x－2x＋n＝0有两个相等的实数根， 所以(－2)－4n＝0，所以n＝1，所以f(x)＝x－x＋1. (2)由(1)知f(x)＝x－x＋1. 1 此函数的图象是开口向上，对称轴为x＝的抛物线， 21?1?所以当x＝时，f(x)有最小值f??. 2?2? 3?1??1?212 而f??＝??－＋1＝，f(0)＝1，f(3)＝3－3＋1＝7， 4?2??2?2 2 2 2 2 2 2 2 ?3?所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域是?，7?. ?4? x2－1f(2) 13．[选做题](2019·金陵中学期中)若函数f(x)＝2，则(1)＝________； x＋11??f?? ?2? ?1??1??1?＝________. (2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 019)＋f??＋f??＋…＋f?? ?3??4??2 019? 4
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