→→→→→
1
因为BN＝NC，所以AN＝(AB＋AC)．
2
→→→→→→→→→→→
121111
因为MN＝AN－AM＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC，又MN＝xAB＋yAC，所以x＝，y＝－.
23262611
答案： －
26
15．若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|＝|a||b|·sin θ，若已知|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4，则|a×b|＝________．
4解析：由|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4得cos θ＝－，
53
又θ∈[0，π]，所以sin θ＝. 53
由此可得|a×b|＝1×5×＝3.
5答案：3
→→→→→→
16．(2014·湖北卷)若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________． →→→解析：因为OA＝(1，－3)，又|OA|＝10＝|OB|， →→
又OA·OB＝0，所以∠AOB＝90°.
→→
所以△AOB是等腰直角三角形，且|AB|＝2|OA|＝25. 答案：25
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
解：|c|＝|a＋2b|＝|a|＋4a·b＋4|b|＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)． 因为0°<θ<120°. 1
所以－ 2所以13<|c|<5. 所以|c|的取值范围为(13，5)． →→ 18.(本小题满分12分)如图所示，在△AOB中，点P在直线AB上，且满足OP＝2tPA＋ 2 2 2 2 → → |PA| tOB(t∈R)，求的值． →|PB| →→→→→→→解：PA＝OA－OP，所以OP＝2t(OA－OP)＋tOB， →→→ 即(1＋2t)OP＝2tOA＋tOB， →→ 2tt→ 得OP＝ OA＋ OB. 1＋2t1＋2t→→而P，A，B三点共线，所以存在实数λ使得AP＝λAB， →→→即OP＝(1－λ)OA＋λOB， 由平面向量基本定理， 2tt所以＋＝(1－λ)＋λ＝1，解得t＝1， 1＋2t1＋2t→→→所以OP＝2PA＋OB， → →→ |PA|1 则BP＝2PA，故＝. →2|PB| →→→ 19．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果OA＝2e1＋me2，OB＝ne1－e2，OC＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值． 解：以O为原点，e1，e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy， →→→ 则OA＝(2，m)，OB＝(n，－1)，OC＝(5，－1)， →→ 所以AC＝(3，－1－m)，BC＝(5－n，0)． →→ 又因为A，B，C三点在一条直线上，所以AC∥BC， 所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n??mn－5m＋n－5＝0， 构成方程组?解得 ?m＝2n，? m＝－1，????m＝10， ?1或? ?n＝5.n＝－??2? 20．(本小题满分12分)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R. (1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值； (2)若a－tb与c共线，求实数t. 解：(1)因为a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)， 所以a＋tb＝(－3，2)＋t(2，1)＝(－3＋2t，2＋t)． 所以|a＋tb|＝ （－3＋2t）＋（2＋t）＝ 5t－8t＋13＝ 4975＝， 55 4 当且仅当t＝时取等号， 5 754 即|a＋t b|的最小值为，此时t＝. 55 (2)因为a－tb＝(－3，2)－t(2，1)＝(－3－2t，2－t)， 又a－tb与c共线，c＝(3，－1)， 所以(－3－2t)·(－1)－(2－t)·3＝0. 3 解之可得t＝. 5 →→→→→→→→→ 21．(本小题满分12分)已知向量OA，OB，OC满足条件OA＋OB＋OC＝0，|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.求证：△ABC为正三角形． →→→ 证明：因为OA＋OB＋OC＝0， →→→所以OA＋OB＝－OC. →→→ 22 所以(OA＋OB)＝(－OC). 2 2 2 ?4?495?t－?＋≥ 5?5? 2 →→→→→222 所以|OA|＋|OB|＋2OA·OB＝|OC|. →→ 1 所以OA·OB＝－. 2 →→OA·OB1 所以cos∠AOB＝＝－. →→2|OA||OB|所以∠AOB＝120°. 同理∠AOC＝120°，∠COB＝120°. →→→ 即OA，OB，OC中任意两个夹角为120°. 故△ABC为正三角形． →→→ 22．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，AB＝(6，1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，→→BC∥DA. (1)求x与y的关系式； →→ (2)若AC⊥BD，求x，y的值以及四边形ABCD的面积． 解：在四边形ABCD中，如图所示． →→→→ (1)因为AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)， →→ 所以DA＝－AD＝(－x－4，2－y)． →→→ 又因为BC∥DA，BC＝(x，y)，
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