2018年高考理科数学二轮复习 专项精练：压轴大题突破练(三)

(三)函数与导数(1)

1.(2017届北京市朝阳区二模)已知函数f(x)＝ex＋x2－x,g(x)＝x2＋ax＋b,a,b∈R. (1)当a＝1时,求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；

(2)若曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y＝g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值； (3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a＋b的最大值. 解 (1)当a＝1时,g(x)＝x2＋x＋b, F(x)＝ex－2x－b, 则F′(x)＝ex－2.

令F′(x)＝ex－2>0,得x>ln 2, 所以F(x)在(ln 2,＋∞)上单调递增. 令F′(x)＝ex－2<0,得x

(2)因为f′(x)＝ex＋2x－1,所以f′(0)＝0, 所以l的方程为y＝1. a

依题意知,－＝1,c＝1.

2

于是l与抛物线g(x)＝x2－2x＋b切于点(1,1), 由12－2＋b＝1,得b＝2. 所以a＝－2,b＝2,c＝1.

(3)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－(a＋1)x－b, 则h(x)≥0恒成立. 易得h′(x)＝ex－(a＋1). ①当a＋1≤0时,

因为h′(x)>0,所以此时h(x)在(－∞,＋∞)上单调递增. (ⅰ)若a＋1＝0,则当b≤0时满足条件,此时a＋b≤－1； 1－b

(ⅱ)若a＋1<0,取x0<0且x0<,

a＋1

1－b

此时h(x0)＝ex0－(a＋1)x0－b<1－(a＋1)－b＝0,

a＋1所以h(x)≥0不恒成立,不满足条件； ②当a＋1>0时,

令h′(x)＝0,得x＝ln(a＋1)； 由h′(x)>0,得x>ln(a＋1)； 由h′(x)<0,得x

所以h(x)在(－∞,ln(a＋1))上单调递减, 在(ln(a＋1),＋∞)上单调递增.

要使得“h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0恒成立”,必须有

“当x＝ln(a＋1)时,h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－b≥0”成立, 所以b≤(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1), 则a＋b≤2(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－1. 令G(x)＝2x－xln x－1,x>0,则G′(x)＝1－ln x. 令G′(x)＝0,得x＝e. 由G′(x)>0,得0e.

所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,＋∞)上单调递减, 所以,当x＝e时,G(x)max＝e－1.

从而,当a＝e－1,b＝0时,a＋b的最大值为e－1. 综上,a＋b的最大值为e－1.

2.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元, 底面的总成本为160πr2元,

所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元. 又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π, 1

所以h＝(300－4r2),

5rπ

从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3).

5因为r>0,又由h>0,可得r<53, 故函数V(r)的定义域为(0,53). π

(2)因为V(r)＝(300r－4r3),

5π

所以V′(r)＝(300－12r2),

5

令V′(r)＝0,解得r1＝5,r2＝－5(舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0, 故V(r)在(0,5)上为增函数； 当r∈(5,53)时,V′(r)<0, 故V(r)在(5,53)上为减函数.

由此可知,V(r)在r＝5处取得最大值,此时h＝8. 即当r＝5,h＝8时,该蓄水池的体积最大.

b

3.(2017届天津市红桥区二模)已知函数f(x)＝ln x－ax＋(a,b∈R),且对任意x>0,都有f(x)＋f

x

?1?＝0. ?x?

(1)用含a的表达式表示b；

a?

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且x10； (3)在(2)的条件下,判断y＝f(x)零点的个数,并说明理由. 解 (1)根据题意,令x＝1, 可得f(1)＋f(1)＝0, 所以f(1)＝－a＋b＝0,

1?经验证,可得当a＝b时,对任意x>0,都有f(x)＋f ??x?＝0,所以b＝a. a

(2)由(1)可知,f(x)＝ln x－ax＋,且x>0,

x

2

1a－ax＋x－a

所以f′(x)＝－a－2＝, xxx22

令g(x)＝－ax2＋x－a,要使f(x)存在两个极值点x1,x2,则y＝g(x)有两个不相等的正实数根,

?1?>0，

所以?2a

Δ＝1－4a>0，??g?0?＝－a<0

2

a>0，

?1?>0，

或?2a

Δ＝1－4a>0，??g?0?＝－a>0，

2

a<0，

11

0，?, 解得0

可得0<<.

28

a?aa2

由题意知,f ?＝ln －＋ ?2?22a2a3

＝2ln a＋－－ln 2,

a2

2

2

3