高等数学第六版上册课后习题答案及解析
第一章
习题1?1
1? 设A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? A\\B及A\\(A\\B)的表达式? 解 A?B?(??? 3)?(5? ??)? A?B?[?10? ?5)?
A\\B?(??? ?10)?(5? ??)? A\\(A\\B)?[?10? ?5)?
2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? 证明 因为
x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? x?AC ?BC? 所以 (A?B)C?AC ?BC ?
3? 设映射f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明 因为
y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y ?(因为x?A或x?B) y?f(A)或y?f(B) ? y?f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为
y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y?(因为x?A且x?B) y?f(A)且y?f(B)? y? f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)?
4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使
?
? 其中IX、IY分别是X、
Y上的恒等映射? 即对于每一个x?X? 有IX x?x? 对于每一个y?Y? 有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?
证明 因为对于任意的y?Y? 有x?g(y)?X? 且f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即Y中任意元素都是X中某元素的像? 所以f为X到Y的满射?
又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2?
因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?
对于映射g? Y?X? 因为对每个y?Y? 有g(y)?x?X? 且满足f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射?
5? 设映射f ? X?Y? A?X ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A?
(2)当f是单射时? 有f ?1(f(A))?A ?
证明 (1)因为x?A ? f(x)?y?f(A) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(A))? 所以 f ?1(f(A))?A?
(2)由(1)知f ?1(f(A))?A?
另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(A))?存在y?f(A)? 使f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(A)且f是单射? 所以x?A? 这就证明了f ?1(f(A))?A? 因此f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)?
解 由3x?2?0得 (2)
2
? 函数的定义域为?
?
解 由1?x?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)
?
解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1? 0)?(0? 1]? (4)
?
解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)? 解 由x?0得函数的定义D?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)? 解 由
(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为
(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)?
(7) y?arcsin(x?3)?
解 由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]? (8)
?
解 由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?
解 由x?1?0得函数的定义域D?(?1? ??)? (10)
?
解 由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? ??)? 7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?? (3)
?
?
(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?
(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同? 8? 设
? 求
?
?
? ?(?2)? 并作出函数y??(x)的图形?
解 ? ? ? ?
9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)
? (??? 1)?
(2)y?x?ln x? (0? ??)?
证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?
?
所以函数在区间(??? 1)内是单调增加的?
(2)对于任意的x1? x2?(0? ??)? 当x1?x2时? 有
?
所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?
10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?
证明 对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)且?x1??x2? 因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以
f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?
(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?
证明 (1)设F(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数? 如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
F(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??F(x)? 所以F(x)为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?
(2)设F(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)?
所以F(x)为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
F(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f(x)是偶函数? 而g(x)是奇函数? 则
F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??F(x)? 所以F(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?
12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y?x2(1?x2)? (2)y?3x2?x3? (3)
?
(4)y?x(x?1)(x?1)? (5)y?sin x?cos x?1? (6)
?
解 (1)因为f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)? 所以f(x)是偶函数? (2)由f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数? (3)因为
? 所以f(x)是偶函数?
(4)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)? 所以f(x)是奇函数?
(5)由f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1可见f(x)既非奇函数又非偶函数? (6)因为
? 所以f(x)是偶函数?
13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y?cos(x?2)?
解 是周期函数? 周期为l?2?? (2)y?cos 4x? 解 是周期函数? 周期为
?
(3)y?1?sin ?x?
解 是周期函数? 周期为l?2? (4)y?xcos x? 解 不是周期函数? (5)y?sin2x?
解 是周期函数? 周期为l??? 14? 求下列函数的反函数? (1)错误!未指定书签。错误!未指定书签。? 解 由 (2) 解 由 (3) 解 由
得x?y3?1? 所以错误!未指定书签。? 得
? 所以
的反函数为
?
的反函数为y?x3?1?
(ad?bc?0)? 得
? 所以
的反函数为
?
(4) y?2sin3x? 解 由y?2sin 3x得
? 所以y?2sin3x的反函数为
?
(5) y?1?ln(x?2)?
解 由y?1?ln(x?2)得x?ey?1?2? 所以y?1?ln(x?2)的反函数为y?ex?1?2? (6) 解 由
? 得
? 所以
的反函数为
?
15? 设函数f(x)在数集X上有定义? 试证? 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界?
证明 先证必要性? 设函数f(x)在X上有界? 则存在正数M? 使|f(x)|?M? 即?M?f(x)?M? 这就证明了f(x)在X上有下界?M和上界M?
再证充分性? 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2? 即K1?f(x)? K2 ? 取M?max{|K1|? |K2|}? 则 ?M? K1?f(x)? K2?M ? 即 |f(x)|?M?
这就证明了f(x)在X上有界?
16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值? (1) y?u2? u?sin x? 解 y?sinx?
2
?
?
?
?
(2) y?sin u? u?2x? 解 y?sin2x? (3)
?? ?
?
? u?1?x? x1?1? x2? 2?
2
解 ? ? ? (4) y?eu? u?x2? x1 ?0? x2?1? 解 ? ? ? (5) y?u2 ? u?ex ? x1?1? x2??1? 解 y?e2x? y1?e2?1?e2? y2?e2?(?1)?e?2?
17? 设f(x)的定义域D?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f(x2)?
解 由0?x2?1得|x|?1? 所以函数f(x2)的定义域为[?1? 1]? (2) f(sinx)?
解 由0?sin x?1得2n??x?(2n?1)? (n?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f(sin x)的定义域为 [2n?? (2n?1)?] (n?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f(x?a)(a>0)?
解 由0?x?a?1得?a?x?1?a? 所以函数f(x?a)的定义域为[?a? 1?a]? (4) f(x?a)?f(x?a)(a?0)? 解 由0?x?a?1且0?x?a?1得? 当函数的定义域为[a? 1?a]? 当 18? 设个函数的图形? 解
? 即
?
时? a?x?1?a? 当
时? 无解? 因此当
时
时函数无意义?
? g(x)?ex 错误!未指定书签。? 求f[g(x)]和g[f(x)]? 并作出这两
? 即?
19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD的面积为定值S0时? 求湿周L(L?AB?BC?CD)与水深h之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37 解
? 又从
得
? 所以
?
自变量h的取值范围应由不等式组
h?0?
确定? 定义域为
?
20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购
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