第三讲
数论
真题模考 1、 某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是
【分析】 可推知这个数为52。52被22除的余数是52?22?2???8。 2、
【分析】 693?3?3?7?11 所以最大的为： 3、
3?72111?，第二个分数为：。 3?113363有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列，
那么第二个分数是 。
在200至300之间，有三个连续自然数，其中。最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，那么，这样的三个连续自然数是 。
【分析】 运用中国剩余定理，可求出满足条件的三个连续自然数为： 264 265 266。 4、 先任意指定7个整数，然后将它们按任意顺序填入2?7方格表第一行的七个方格中，再将它们
按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。最后，将所有同一列的两个数之和相乘。那么，积是 数。 (填奇或偶)。
【分析】 运用假设法，带入1,2,3,4,5,6,7这7个整数计算。可得知积应为偶数。 5、
将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于52605，那么，这两个三位数的和等于 。
【分析】 52605?3?3?5?7?167?105?501，所以这两个三位数的和等于105?501?606。
6、 A?1，A除以11余5，除以9余7 ，除以13余3，这个数最小是（ ）
【分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：1303。 7、
【分析】 442?1936，老寿星出生于：1936?44?1892，所以2001年为：2001?1892?109岁。 8、 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然
数为_______，这三个连续自然数为_______。
2【分析】 ?121?122?132?142?365 所以这两个连续自然数为13、14，10数为10、11、12。
一位现在一百多岁的老寿星，公元x时的年龄为x岁，则此老寿星2001年多少岁？
2，所以这三个连续自然3659、
已知m,n都是自然数，且n=126m，则n的最小值为_______________。
2【分析】 126?2?3?3?7 所以442?2?2?3?3?7?7，n最小值为44。
10、 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这3种物品每样均平分给每
个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？
【分析】 利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出a?17 118?a??b，67?a??b，33?a??b，
所以学校有17个班。
【例1】 在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是 【分析】 ?2?3?5?7???4?6?8?9??459。
【例2】 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数。第一组三个数之积是48，第二组三个数之积是45，
第三组三个数之和最大是 。
【分析】 48?2?4?6，45?1?5?9，所以第三组之和最大为：3?7?8?18。
考点拓展
【例3】 777????77?41余 。 ????1996个7
【分析】 观察找规律，7?41?□???7，77?41?□???36，777?41?□???39，7777?41?□???28，
77777?41?□???0，777777?41?□???7…… 每5个一循环，所以1996?5?399?1余7。
【例4】 2002名学生成一横排，第一次从左至右1—3报数，第二次从右至左1—5报数，两次报的数之
和等于5的学生有 名。
【分析】 123123123123???1231231231， 215432154321?5432154321观察找规律，从右边起，每隔15个
数打一包，一包里有3名同学符合条件。总共能打2002?15?133?7 所以满足条件的学生共有133?3?3?402名。
【例5】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美
妙数”。问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？
【分析】 60?3?4?5是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60。任何三个连续正整数，必有一个
能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3。若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4。另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除。所以，任何美妙数必有因子5。由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60。综上，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60。
【例6】 称能表示成1?2?3?L?k的形式的自然数为三角数。有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平
方数。则N?＿。
【分析】依题有1?2?3?L?k?a2，即k(k?1)?2?a2。因为k与k?1是两个连续自然数，其中必有一个奇
数，有奇数?相邻偶数相邻偶数又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”也互质，于是奇数?m2，?a2。
22相邻偶数，而a2为四位数，有32?a?99，即32?m?n?99，又m2与2n2相邻，?n2（a?m?n）
2有7?m?12。当m?7时，m2?49，相邻偶数为50时，n?5满足条件，这时a2?(7?5)2?1225，即N?1225；当m?9时，m2?81，相邻偶数为80和82都不满足条件；当m?11时，m2?121，相邻偶数为120和122都不满足条件。所以，N?1225。
课后练习
1、
[答案] 2、
有一个三位数能被9整除，去掉末尾数字后所得的两位数恰是7的倍数。在这样的三位数中最大的是 。
要三位数最大，前两位必须是98，又它能被9整除，所以为：981。
2写成一个循环小数，在这个循环小数的小数部分中截取连续的一段，使得折一段中的所有13数字之和为2003。那么这一段数字中共有 数字。
将
[答案] 3、
[答案] 4、
[答案]
445。
某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如abcdefg4，则七位数abcdefg应是多少？
8571428
有一类六位自然数，它们的前三位数组成的数与后三位数组成的数相同。求在这类自然数中，能被4433整除的最大数是多少？
992
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