第一节 微分方程的基本概念

经济数学---微积分教案

第一节 微分方程的基本概念

教学目的： 理解微分方程的概念，理解微分方程的通解的概念，区分特解与通解。 教学重点：微分方程的概念 通解的概念 教学难点：区分特解与通解 教学时数：2 教学内容： 一、 两个引例

例1：一条曲线过点?0,1?，且在该曲线任意点M(x,y)处的切线斜率都为2x，求该曲线的方程。

解： 设所求曲线方程为y?f(x)

根据题意和导数的几何意义，得

dy?2x 且当x?0时，y?1。 dx例2：一质量为m的物体只受重力作用由距地面h米处开始下落，试求物体下落的运动方程。 解 ：设物体下落距离s与时间t的关系为 s?s?t?

依题意和二阶导数的物理意义，得

d2s?g（其中g为重力加速度） 2dt且当t?0时,s?0且v?0。

以上所列举两例的方程中，都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 二、基本概念

定义 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程。

定义 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。 能使微分方程变成恒等式的函数，称为微分方程的解。求微分方程解的过程叫做解微分方程。

如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

在通解中若使任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解。

为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定条件，这些条件叫做初始条件。

例如，例1的初始条件记为yx?0?1；例2的初始条件记为st?0?0,ds?0 dtt?0评注：⑴.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.

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⑵一般情况下，如果微分方程是一阶的，其初始条件是yx?x?y0；如果是二阶的，其

0?，其中x0,y0,y0?都是给定的值。 初始条件是yx?x?y0，y?x?x?y000例3：验证函数y?C1e2x?C2e3x（C1,C2是任意常数）是方程 y???5y??6y?0 的通解，并求满足初始条件y|x=0=1, y?|x=0=

1的特解。 2解： y??2C1e2x?3C2e3x， y???4C1e2x?9C2e3x

将两式代入方程有

2x3x2x3xe?6 4C1e?9C2e?52C1e?3C2?????1C2xe?2C?3xe? 0且C1,C2是两个独立的任意常数。 ?函数y?C1e2x?C2e3x是方程的通解。 把初始条件y|x=0=1, y?|x=0=

1代入y?C1e2x?C2e3x及y??2C1e2x?3C2e3x，得 2?C1?C2?1??1。 2C1?3C2???2

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