注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例8 求y?
例9 已知a0=1, an=
sinxcosx的值域。
1?sinx?cosx1?an?12?1an?1(n∈N+)，求证：an>
?. n?22
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x∈?0,????时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明2??是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(?x+?)(A, ?, ?>0).
由y=sinx的图象向左平移?个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
1?，得到y=Asin(?x+?)的图象；也可以由y=sinx的
图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的最后向左平移
1?，
?个单位，得到y=Asin(?x+?)的图象。 ?例10 例10 已知f(x)=sin(?x+?)(?>0, 0≤?≤π)是R上的偶函数，其图象关于点
- 5 -
?3?????
M?,0?对称，且在区间?0,?上是单调函数，求?和?的值。 ?4??2?
7．三角公式的应用。 例11 已知sin(α-β)=
55????3??，sin(α+β)=- ，且α-β∈?,??，α+β∈?,2??，1313?2??2?求sin2α,cos2β的值。
例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且
112???，试求cosAcosCcosBcos
A?C的值。 2例13 求证：tan20+4cos70.
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??
三、基础训练题
1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。 2．适合
1?cosx1?cosx??-2cscx的角的集合为___________。
1?cosx1?cosx3．给出下列命题：（1）若α?β，则sinα?sinβ；（2）若sinα?sinβ,则α?β；（3）
若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。 4．已知sinx+cosx=
1(x∈(0, π))，则cotx=___________。 55．简谐振动x1=Asin??t?????????和x2=Bsin??t??叠加后得到的合振动是x=___________。 3?6??6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+?1)=5sin(x-?2)=5cos(x+?3)=5cos(x-?4)，则?1，?2，?3，
?4分别是第________象限角。
7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 8．已知??x?2?，则
321111??cosx=___________。 2222=___________。
9．
cos40??sin50?(1?3tan10?)sin701?cos40?????10．cot15cos25cot35cot85=___________。 11．已知α,β∈(0, π), tan??2?15, sin(α+β)=，求cosβ的值。 21312．已知函数f(x)=
m?2sinx???在区间?0,?上单调递减，试求实数m的取值范围。
cosx?2?四、高考水平训练题
1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.
2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 3. 函数y?2?sinx的值域为__________.
2?cosx4. 方程2sin?2x???????lgx=0的实根个数为__________. 6?5. 若sina+cosa=tana, a??0,???????，则__________a（填大小关系）.
3?2???6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.
- 7 -
7. 若0 ?且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________. 2sin7??cos15??sin8?8. =__________. cos7??sin15?sin8?9. cos?112 ·cos?2345?·cos?·cos?·cos?=__________. 11111111??2 10. cos71+cos71cos49+cos49=__________. 11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x. 13. 已知f(x)=????1??2??k??Asin?x???53?(kA?0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2） 若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括 整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题（一） 22 1．若x, y∈R，则z=cosx+cosy-cosxy的取值范围是____________. 2．已知圆x+y=k至少盖住函数f(x)=3sin2 2 2 ?xk的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________. 3．f(?)=5+8cos?+4cos2?+cos3?的最小值为____________. 4．方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________. 5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6．设sina>0>cosa, 且sinaaa>cos，则的取值范围是____________. 3337．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解. 8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9．若0 ??m2m+1 , m∈N+, 比较大小：(2m+1)sin?(1-sin?)__________1-sin?. 2?10．cot70+4cos70=____________. ?sinx?siny?a?11. 在方程组?cosx?cosy?b中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。 ?cotx?coty?c?12．已知α，β，γ??0,???222 ?，且cosα+cosβ+cosγ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。 2?? - 8 -
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