（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
y?z?xx?z?y?z?x?y例2．已知：x?0?z，xy?0，且， 那么
的值（ C ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号 解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以
x?z?y?z?x?y
?x?z?(y?z)?(x?y)
?0
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：
x?3y，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
例4．（整体的思想）方程
x?2008?2008?x 的解的个数是（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程
a??a的解，利用绝对值的
代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。
例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．
111???ab?a?1??b?1??a?2??b?2?
?1?a?2007??b?2007?
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分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2
于是
111???ab?a?1??b?1??a?2??b?2??1?a?2007??b?2007?
1111?????22?33?42008?20091111111?????????22334200820091?1?20092008?2009 ?在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 1 1 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。 1 1?????2?44?66?82008?2010例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与?2，3与5，?2与?6，?4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 . （2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
? 1可以表示为 x ? ( ? 1 ) ? x．
分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时，距离为-x-1, 当-1
x?1
x?2?x?3的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3≤x_≤2______.
x?2即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。
即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
x?3?x?(?3)如图，x在数轴上的位置有三种可能：
图1 图2 图3
图2符合题意 （4） 满足
x?1?x?4?3x?1的x的取值范围为 x<-4或x>-1
分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，
x?4表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数
时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为
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绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，
A?B 表示的几何意义就是在数轴上表示数
A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
2222mx?x?5x?8?7x?3y?5x的值与x无关， 例1．若多项式
22m?2m??5m?4??m的值. 求
????分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零
2222??2mx?x?5x?8?7x?3y?5x?2m?8x?3y?8 因为
??所以 m=4
222??m?2m?5m?4?m??m?4m?4??16?16?4??4 将m=4代人，
??
利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=-2时，代数式ax?bx?cx?6的值为8，求当x=2时，代数式ax?bx?cx?6的值。 分析： 因为ax?bx?cx?6?8
当x=-2时，?2a?2b?2c?6?8 得到2a?2b?2c?6??8，
532a?2b?2c??8?6??14 所以
53532a?2b?2c?6?(?14)?6??20 ax?bx?cx?6当x=2时，=
5353535353例3．当代数式x?3x?5的值为7时,求代数式3x?9x?2的值. 分析：观察两个代数式的系数
222x?3x?5?7x?3x?23x?9x?6 由 得 ，利用方程同解原理，得
22 整体代人，3x?9x?2?4
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
2 28
例4． 已知a?a?1?0，求a?2a?2007的值.
分析：解法一（整体代人）：由a?a?1?0 得 a?a?a?0
所以： a3?2a2?2007
?a3?a2?a2?2007
2?a?a?2007解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
232232?1?200722a?a?1?0a?1?a， 由，得
?2008所以： a3?2a2?2007
?a2a?2a2?2007?(1?a)a?2a2?2007?a?a2?2a2?2007?a?a2?2007?1?2007?20082解法三（降次、消元）：a?a?1（消元、、减项）
a3?2a2?2007?a3?a2?a2?2007?a(a2?a)?a2?2007?a?a2?2007?1?2007 ?2008
例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元） 第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050 第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250 第n年：A公司 10000+200(n-1）；
B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。
例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且则 ax?bx?cx?1的值是_______ 。
32abcabacbcx??????abcabacbc，
解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数 又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。 不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0
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所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b<0，c<0时，x=0。
另：观察代数式
abcabacbc?????abcabacbc，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为
轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题：
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
AB（1）“17”在射线 ____上，
8 “2008”在射线___________上． 7 2 1 （2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的 3 9 CF代数式表示为__________________________． 4 O6 12 10 5 11 分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…
观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， ED 归纳得到，这列数可以表示为6n-5
因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。
因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上
例8． 将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2007应在
A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列
分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列， 所以2007应该在第251行第5列
例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果
nnkk为2（其中k是使2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
F② F② F①
26 13 44 11 第一次 第二次 第三次
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．
…
nnkk分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为2（其中k是使2 为奇数
的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。
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