高数
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
院（系）别
大题 小题 得分 班级 学号 姓名
二 3 三 四 五 成绩 六 七 一 1 2 4 5 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）
1、已知向量a、b满足a?b?0，a?2，b?2，则a?b? ．
?3z2、设z?xln(xy)，则? ． 2?x?y3、曲面x?y?z?9在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．
4、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[??,?)上的表达式为f(x)?x，则f(x)的傅里叶级数 在x?3处收敛于 ，在x??处收敛于 ． 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则
22?(x?y)ds? ．
L※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
222??2x?3y?z?91、求曲线?2在点M0(1,?1,2)处的切线及法平面方程． 22??z?3x?y2、求由曲面z?2x?2y及z?6?x?y所围成的立体体积．
22223、判定级数
?(?1)n?1?nlnn?1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ nx?z?2z4、设z?f(xy,)?siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,y?x?x?y5、计算曲面积分
dS2222,x?y?z?a其中是球面被平面z?h(0?h?a)截出的顶部． ???z?
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三、（本题满分9分）
抛物面z?x?y被平面x?y?z?1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
22四、 （本题满分10分）
计算曲线积分
?L(exsiny?m)dx?(excosy?mx)dy，
22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x?y?ax(a?0)．
五、（本题满分10分）
xn求幂级数?n的收敛域及和函数．
n?13?n?六、（本题满分10分）
计算曲面积分I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy， ???22其中?为曲面z?1?x?y(z?0)的上侧．
七、（本题满分6分）
设f(x)为连续函数，f(0)?a，F(t)????[z?f(x?tt?02?y2?z2)]dv，其中?t是由曲面z?x2?y2222与z?t?x?y所围成的闭区域，求 lim?F(t)． t3
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备注：①考试时间为2小时；
②考试结束时，请每位考生按卷面?答题纸?草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
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高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
参考解答与评分标准
一、填空题【每小题4分，共20分】 1、?4； 2、?二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
1；3、2x?4y?z?14； 4、3，0； 5、2. y2dz?dy3y?z??2x?dy5xdz7x?dxdx?1、解：方程两边对x求导，得?， 从而，…………..【4】 ??dx4ydx4z?ydy?zdz??3x?dx?dx该曲线在
571T?(1,,)?(8,10,7).…………..【5】 处的切向量为1,?1,2??488x?1y?1z?2??………………..【6】 8107故所求的切线方程为
法平面方程为
8?x?1??10?y?1??7?z?2??0 即 8x?10y?7z?12……..【7】
?z?2x2?2y2?x2?y2?2，该立体?在xOy面上的投影区域为Dxy:x2?y2?2．…..【2】２、解：? 22?z?6?x?y故所求的体积为V????dv??d???02?20?d??6??22?2dz?2??20?(6?3?2)d??6?……..【7】
?11n３、解：由limnun?limnln(1?)?limln(1?)?1?0，知级数?un发散…………………【3】
n??n??nn??nn?1又|un111|?ln(1?)?ln(1?)?|un?1|,lim|un|?limln(1?)?0.故所给级数收敛且条件收敛．【7】
n??n??nn?1n４、解：
?z11????(f1?y?f2?)?0?yf1?f2?， …………………………………【3】
?xyy1x?2zx11x???2f2??3f22??.【7】???x?f12???(?2)]?2f2??[f21???x?f22???(?2)]?f1??xyf11 ?f1??y[f11?x?yyyyyyy５、解：?的方程为z又221?zx?zy?a?a2?x2?y2，?在xOy面上的投影区域为Dxy?{(x,y)|x2?y2?a2?h2}． a2?x2?y2，…..………【３】
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2?adSadxdy???2?a?d??故??2200za?x?y?Dxy2?h2?d??122??2?a?ln(a??)??a2??22??0a2?h2a?2?aln..【7】
h
三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d?令L(x,y,z)?x?y?z??(z?x?y)??(x?y?z?1)，
22222x2?y2?z2……【1】
?Lx?2x?2?x???0?L?2y?2?y???0y??1?3?则由?，解得，z?2x?y?Lz?2z?????0222?z?x?y?x?y?z?1??3．于是得到两个可能极值点
M1(?1?3?1?3?1?3?1?3,,2?3),M2(,,2?3).…………………【7】 2222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得． 故dmax
?|OM2|?9?53,dmin?|OM1|?9?53. ……【9】
四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得
I2?而I1L?OA?(exsiny?m)dx?(excosy?mx)dy??m??d???D?8ma2．………………【5】
??(esiny?m)dx?(ecosy?mx)dy??m?dx??ma…………【8】
OA0xxa??(exsiny?m)dx?(excosy?mx)dy?I2?I1?ma?L?8ma2. ………………………【10】
an?1n3n1?lim??R?3，收敛区间为 (?3,3)…………【2】 五、【10分】解：??limn??an???n?1?3n?13n?1??1又当x?3时，级数成为?，发散；当x??3时，级数成为?，收敛．……【4】
nn?1n?1n??n故该幂级数的收敛域为
???3,3?………【5】
xn令s?x???n（?3?x?3），则
n?1n3
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xn?11?xn?1111, (|x|?3) ……【8】 s?(x)??n??()??3n?1331?x/33?xn?13?于是s(x)??x0s?(x)dx??xdx??ln?3?x?0?ln3?ln?3?x?，（?3?x?3）………………….【10】
03?xx
22六、【10分】解：取?1为z?0(x?y?1)的下侧，记?与?1所围成的空间闭区域为?，则由高斯公式，
有I2????1??2x3dydz?2y3dzdx?3?z2?1?dxdy????6?x2?y2?z?dv………….… 【5】
?
而I1?6?d??d??00?12?1?1?20??2?z??dz?2?…………………….…【7】
???2x3dydz?2y3dzdx?3?z2?1?dxdy???3?z2?1?dxdy?3?1x2?y2?1??dxdy?3?….… 【9】
?I?I2?I1?2??3????.…………………….… 【10】
?七、【6分】解：F?t???2?02?r2dr….… 【2】 d??4sin?d???rcos??fr???00?t?tt???32244?2???sin?cos?d??rdr??sin?d??f?r?rdr?
0000???t4????2?2?8???22….… 【4】 rfrdr?0????t?t3????2?2t2f(t2)?F?t??2??2?2?limf(t2)?2?2?a. 【6】
?lim故limt?0?t?0?t?0?t33t233??
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