2013年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题(含答案)

方法一(如图9A)：

过点C 作CH⊥MN于点H， 则△CHQ是直角三角形，

由（2）的证明可知△BCD是等腰直角三角形，且 BC=OB=CD=1 ∴CH=2,

2若四边形OPQC为菱形，则有CQ=OC=2， ∴CH=

1 OC ∴∠CQH=30° ∴∠P1OC= 30° 2方法二（如图9B）：

连接AB交OC于点G，过点P1作P1H⊥OC于点H 则△OP1H是直角三角形，

在正方形AOBC中有AB⊥OC，又MN∥OC，

y ∴∠BGH= ∠P1HG=∠GB P1= 90° ∴四边形P1BGH是矩形，

O 又四边形OPQC为菱形

A G P1 B F E N P2 x H C D M Q 111∴P1H=BG=AB=OC =O P1

222∴∠P1OC= 30°

ⅱ）当点P在第三象限时(如点P2)，

图9B 令x =0，则y=x－1=－1，即直线MN与y轴的交点E的坐标为（0，－1） 则OE=OB，则∠OEB=∠OBE= 45°则∠OEP2=∠OBP1= 135° 又四边形OPQC为菱形

∴O P2=O P1 =OC ∴∠O P2E=∠O P1B ∴△O P2E≌△O P1B (AAS) ∴∠E O P2=∠B O P1

∵∠B O P1=∠B O C－∠P1 OC=45°－30°=15° ∴∠E O P2=15°，∴∠P2OC=150°

综合以上论述可知，当四边形OPQC为菱形时，∠POC的度数为30°或150°