2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题06用导数证明不等式问题
考点命题分析
函数综合题多出现在高考压轴题位置，具有考查数学思想方法以及代数推理能力的功能，用导数证明不等式问题是常见的考查形式.
本专题设计意图，一是复习用导数证明不等式的基本方法，也就是通过构造函数，把不等式证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值等问题；二是从看似平常的导数问题中发现、提炼不等式，或对常见不等式进行变换，用以解决难度更大的不等式证明问题.
1导数证明不等式的常用方法
1.1不等号左右两边结构相同的不等式，可以构造函数f(x)，使原不等式化为形如f(a)>f(b)的形式 例1已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤－2)证明:对任意x1，x2∈(0，+∞)，
1.2形如f(x)>g(x)的不等式，可以构造函数F(x)=f(x)－g(x)，转化为研究函数F(x)>0的问题 例2已知
(1)讨论f(x)的单调性； (2)当a=1时，证明1.3形如
对于任意的x∈[1，2]成立.
的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数
，.
(或
).
(
为
.
.
例3已知函数f(x)=lnx，设f(x)的导函数)，证明:
2导数证明不等式的常用技巧 2.1不等式的发现与运用
是函数y=f(x)的图像上两点，
很多函数问题中，蕴含了一些常见的不等关系，需要我们去发现、提炼，并将其用于难度较大的不等式证明问题中. (1)(2)
(当且仅当x=1时取等号)；
.
很多高考试题中的导数证明不等式问题，都有这类常见不等式的背景.
1
例4已知函数
(Ⅰ)证明:当x>0时，f(x) (Ⅱ)证明:当k<1时，存在x0>0，使得对任意 . ，恒有f(x)>g(x)； (Ⅲ)确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对任意的x∈(0，t)，恒有f(x)－g(x)| (Ⅱ)设m为整数，且对于任意正整数n，2.3不等式的构造与运用 有些导数证明不等式的问题，需要我们先根据问题的条件特征与解题需要，通过探究，发现、构造新的不等式，再利用新构造的不等式解决问题. 例6设函数f(x)=－x3+2x2－x+2 (I)求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值； (Ⅱ)若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，证明: . ，求m的最小值. 最新模拟题强化 1．已知函数f(x)?alnx?（1）求a,b的值； （2）当x?0且x?1时，求证：f(x)?b(x?1),曲线y?f?x? 在点?1,f?1??处的切线方程为y=2 x(x?1)lnx x?12．已知函数f?x??2ln?x?1??sinx?1. （1）求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程； （2）证明：x?1?lnx； （3）证明：f?x???x?1?esinx. 3．已知函数f(x)?ax?（1）求a，b的值； 2（2）设函数g(x)?mf(x)?(m?1)lnx（m?R），求g(x)在(1,??)上的单调区间； ??2b在点(1,f(1))处的切线方程为y?2x?2． x 2 （3）证明：1?1111n?????ln(2n?1)?（n?N*）． 352n?122n?14．已知函数f（x）＝[x2﹣（a+4）x+3a+4]ex， （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）求证不等式（x3﹣6x2+10x）ex＞10（lnx+1）成立. 5．已知函数f?x??lnx?ax??a?2?x?1?a?R? 2?1?讨论函数f?x?的单调性； ?2?设a?Z，对任意x?0,f?x??0的恒成立，求整数a的最大值； ?3?求证：当x?0时，ex?xlnx?2x3?x2?x?1?0 6．设函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＞0时，证明f（x）≥ln（ae2）﹣2a（e为自然对数的底数）． 7．已知f(x)?x?1?m?mlnx，m?R. x（1）讨论f(x)的单调区间； e2x2（2）当0?m?时，证明：e?x?xf(x)?1?m. 28．设函数f(x)?ax?sinx,x?(0,(1)若函数f?x?在?0,?2),a为常数 ????上是单调函数，求a的取值范围； ?2?13x. 6x (2)当a?1时，证明f(x)?9．已知函数f?x??alnx??x?1?e，其中a为非零常数． ?1?讨论f?x?的极值点个数，并说明理由； ?2?若a?e，?i?证明：f?x?在区间?1,???内有且仅有1个零点；?ii?设x0为f?x?的极值点，x1为f?x?的零点且x1?1，求证：x0?2lnx0?x1． 10．设函数f?x??x?1?tlnx，其中x??0,1?,t为正实数. x 3 (1)若不等式f?x??0恒成立，求实数t的取值范围； (2)当x?(0，1)时，证明x2?x?1x?1?exlnx. 11．已知函数f(x)?x?x2?3lnx． （1）求曲线y?f(x)的斜率为2的切线方程； （2）证明：f(x)?2x?2； （3）确定实数k的取值范围，使得存在x0?1,当x?(1,x0)时,恒有f(x)?k(x?1)． 12．已知函数f?x??ex?ax． (1)当a?0时，设函数f?x?的最小值为g?a?，证明：g?a??1； (2)若函数h?x??f?x??12x2有两个极值点x1,x2?x1?x2?，证明：h?x1??h?x2??2． 13．已知函数f?x??lnxx. （1）若对任意x??0,???，f?x2??kx恒成立，求k的取值范围； （2）若函数g?x??f?x??1x?m有两个不同的零点x1，x2，证明：x1?x2?2. 14．已知函数f?x??msin?1?x??lnx. （1）当m?1时，求函数f?x?在?0,1?的单调性； （2）当m?0且a??1时，g?x???af?x??1ex，求函数g?x?在?0,e?上的最小值； （3）当m?0时，h(?x??f?x??12x?b有两个零点x1，x2，且x1?x2，求证：x1?x2?1. 15．已知函数 ，又函数 的两个极值点为 ，且满足，恰为的零点． （1）当时，求的单调区间； （2）当 时，求证： ． 4
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