2019年 答案 ?1，??17?? 3?解析 由|F1F2|＝2|OP|可得△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，tan∠PF2F1≥4， 即|PF1|≥4|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|， 2
又|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF2|≤a，
3
17?2?2222222
由(|PF2|＋2a)＋|PF2|＝4c化为(|PF2|＋a)＝2c－a≤?a＋a?，可得c≤，
3?3?又双曲线中c>a＝1，
所以双曲线C的半焦距的取值范围为?1，
2
2
2
2
?
?17??. 3?
16．(2018·威海模拟)抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若|MN|＝|PQ|，则∠PFQ的最大值为________． 答案
π 3
解析 如图所示，分别过P，Q作抛物线准线的垂线，垂足为A，B，
设|PF|＝2a，|QF|＝2b，
由抛物线定义，得|PF|＝|PA|，|QF|＝|QB|， 在梯形ABQP中，2|MN|＝|PA|＋|QB|＝2a＋2b， ∴|MN|＝a＋b.
若PQ过焦点F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝2a＋2b， 又|MN|＝a＋b，且|MN|＝|PQ|， ∴2a＋2b＝a＋b， ∴a＋b＝0，显然不成立， ∴PQ不过焦点F.
∵|MN|＝|PQ|，∴|PQ|＝a＋b， 设∠PFQ＝θ，由余弦定理得， (a＋b)＝4a＋4b－8abcos θ， ∴a＋b＋2ab＝4a＋4b－8abcos θ， 3a＋3b－2ab6ab－2ab1
∴cos θ＝≥＝，
8ab8ab2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2019年
当且仅当a＝b时取等号， π
又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤，
3π
∴∠PFQ的最大值为.
3
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