公因式的确定方法：对于数字取各项系数的最大公约数；对于字母(含字母的多项式)，取各项都含有的字母(含字母的多项式)，相同的字母(含字母的多项式)的指数，取次数的最低的．
提取公因式：把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式的商．
点拨精讲：在将多项式分解因式的时候首先提取公因式，分解要彻底． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(3分钟) 1．课本P115页练习题1.
2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(D)
1
A．a2＋1＝a(a＋)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 分解因式：(1)(x＋2y)2－x－2y； (2)5x(x－3y)3－15y(3y－x)3.
解：(1)(x＋2y)2－x－2y＝(x＋2y)2－(x＋2y)＝(x＋2y)(x＋2y－1)；
(2)5x(x－3y)3－15y(3y－x)3＝5x(x－3y)3＋15y(x－3y)3＝5(x－3y)3(x＋3y)． 点拨精讲：遇到第1题的多项式可以利用交换律重新组合后再找公因式，第2小题先将(x－3y)3和(3y－x)3化成同底数幂，变形时注意符号．
1
探究2 已知2x－y＝，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
3
11
解：∵2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)，当2x－y＝，xy＝2时，∴原式＝x3y3(2x－y)＝23×
338
＝. 3
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)
1．课本P115页练习题2，3.
2．计算：(1)m(3－m)＋2(m－3)；
(2)a(a－b－c)＋b(c－a＋b)＋(b＋c－a)．
解：(1)m(3－m)＋2(m－3)＝－m(m－3)＋2(m－3)＝(m－3)(2－m)；
(2)a(a－b－c)＋b(c－a＋b)＋(b＋c－a)＝a(a－b－c)－b(a－b－c)－(a－b－c)＝(a－b－c)(a－b－c)＝(a－b－c)2.
3．计算：(1)(－2)201＋(－2)202；
(2)ab＋a＋b＋1.
解：(1)(－2)201＋(－2)202＝(－2)201×(1－2)＝－(－2)201＝2201； (2)ab＋a＋b＋1＝a(b＋1)＋(b＋1)＝(b＋1)(a＋1)．
(3分钟)1.提公因式法分解因式，关键在于找公因式．
2．提公因式法分解因式的步骤是：先排列；找出公因式并写出来作为一个因式；另一个因式为原式与公因式的商(某一项是公因式时，提公因式后为1或－1，不能遗漏)．
3．因为因式分解是恒等变形，所以，把分解的结果乘出来看是否得到原式，就可以辨别分解的正确与错误．
4．因式分解的结果应该是整式的积．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)
14．3.2 公式法(1)
1．能直接利用平方差公式因式分解． 2．掌握利用平方公式因式分解的步骤．
重点：利用平方差公式因式分解．
难点：能熟练运用平方差公式因式分解．
一、自学指导
自学1：自学课本P116－117页“思考及例3，例4”，完成下列填空．(5分钟) 计算：(x＋2)(x－2)＝x2－4；(y＋5)(y－5)＝y2－25．
根据上述等式填空：x2－4＝(x＋2)(x－2)；y2－25＝(y＋5)(y－5)；
总结归纳：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积；a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟) 1．课本P117练习题1，2.
2．下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2. 解：(略)
点拨精讲：判断是否符合平方差公式结构． 3．分解因式：(1)a2b－4b；
(2)(x＋1)2－1； (3)x4－1；
(4)－2(m－n)2＋32；
(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
解：(1)a2b－4b＝b(a2－4)＝b(a＋2)(a－2)； (2)(x＋1)2－1＝(x＋1＋1)(x＋1－1)＝x(x＋2)； (3)x4－1＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(4)－2(m－n)2＋32＝－2[(m－n)2－16]＝－2(m－n＋4)(m－n－4)；
(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)＝(2x＋2z)·2y＝4y(x＋z)．
点拨精讲：有公因式的先提公因式，然后再运用公式；一直要分解到不能分解为止．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：由题意，得(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)]＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n，∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
探究2 已知x－y＝2，x2－y2＝8，求x，y的值．
?x＝3，?x＋y＝4，?
解：∵x－y＝(x＋y)(x－y)＝8，x－y＝2，∴x＋y＝4，∴?∴?
?y＝1.?x－y＝2，?
2
2
点拨精讲：先将x2－y2分解因式后求出x＋y的值，再与x－y组成方程组求出x，y的值．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．因式分解：(1)－1＋0.09x2；
(2)x2(x－y)＋y2(y－x)；
(3)a5－a；
(4)(a＋2b)2－4(a－b)2.
解：(1)－1＋0.09x2＝(0.3x＋1)(0.3x－1)；
(2)x2(x－y)＋y2(y－x)＝(x－y)(x2－y2)＝(x－y)(x＋y)(x－y)＝(x＋y)(x－y)2； (3)a5－a＝a(a4－1)＝a(a2＋1)(a2－1)＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1)；
(4)(a＋2b)2－4(a－b)2＝[(a＋2b)＋2(a－b)][(a＋2b)－2(a－b)]＝(a＋2b＋2a－2b)(a＋2b－2a＋2b)＝3a(4b－a)．
11111
2．计算：(1－2)(1－2)(1－2)?(1－2)(1－2)．
234199200
111111111324
解：原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)?(1－)(1＋)(1－)(1＋)＝×××
22331991992002002233198200199201201
×?××××＝.
199199200200400
点拨精讲：先分解因式后计算出来，再约分．
(3分钟)1.分解因式的步骤：先排列，第一项系数不为负；然后提取公因
式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．
2．不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创设应用平方差公式的条件．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)
14．3.2 公式法(2)
1．会判断完全平方式．
2．能直接利用完全平方式因式分解．
重点：掌握完全平方公式分解因式的方法． 难点：能灵活运用公式法分解因式．
一、自学指导
自学1：自学课本P117－118页“思考及例5，例6”，完成下列填空．(5分钟) (1)计算：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
(2)根据上面的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
总结归纳：形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式；完全平方公式：a2
±2ab＋b2＝(a±b)2；两个数的平方和加上(减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(差)的平方．
自学2：自学课本P121阅读与思考，填空．(5分钟)
(1)计算：(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2； (x－1)(x－2)＝x2－3x＋2； (x－1)(x＋2)＝x2＋x－2； (x＋1)(x－2)＝x2－x－2．
(2)根据上面的式子填空：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)； x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)； x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)； x2＋x－2＝(x＋1)(x－2)．
总结归纳：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
点拨精讲：常数项拆成的两个因数，绝对值较大因数的符号与一次项的符号相同． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．课本P119页练习题1，2. 点拨精讲：完全平方式其中有两项能写成两数或式子的平方的形式，另一项为这两个数或式子积的2倍或2倍的相反数．多项式有公因式的先提公因式，再确定其属于哪个公式结构．
2．分解因式：(1)(a－b)2－6(b－a)＋9；
(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1； (3)y2－7y＋12； (4)x2＋7x－18.
解：(1)(a－b)2－6(b－a)＋9＝(a－b)2＋6(a－b)＋9＝(a－b＋3)2； (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4； (3)y2－7y＋12＝(y－3)(y－4)； (4)x2＋7x－18＝(x－2)(x＋9)．
点拨精讲：第(1)(2)题先要把括号里的式子看作一个整体，分解后要继续分解到不能分解为止；第(3)(4)题要从常数项入手，拆分时主要是符号的问题．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 111
探究1 已知x＋＝4，求值：(1)x2＋2；(2)(x－)2.
xxx11
解：(1)x2＋2＝(x＋)2－2＝42－2＝14；
xx11
(2)(x－)2＝(x＋)2－4＝42－4＝12.
xx
点拨精讲：这里需要活用公式，将两个完全平方公式进行互相转化． 探究2 分解因式：(1)x2－2xy＋y2－9； (2)x4＋x2y2＋y4
解：(1)x2－2xy＋y2－9＝(x2－2xy＋y2)－9＝(x－y)2－9＝(x－y＋3)(x－y－3)； (2)x4＋x2y2＋y4＝x4＋2x2y2＋y4－x2y2＝(x2－y2)2－x2y2＝(x2－y2＋xy)(x2－y2－xy)． 点拨精讲：分组与拆项是分解因式中的常用方法，其原则是分组与拆项后便于提取公因式或用公式法进一步分解因式．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．利用因式分解计算：2022＋202×196＋982.
解：2022＋202×196＋982＝(202＋98)2＝3002＝90000.
2．如果x2＋mxy＋9y2是一个完全平方式，那么m的值是±3． 3．分解因式：(1)x2－xy＋y－x；
(2)a4＋3a2b2＋4b4； (3)(a－b)2－6(a－b)＋8.
解：(1)x2－xy＋y－x＝(x2－xy)－(x－y)＝x(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x－1)；
(2)a4＋3a2b2＋4b4＝(a4＋4a2b2＋4b4)－a2b2＝(a2＋2b2)2－a2b2＝(a2＋ab＋2b2)(a2－ab＋2b2)；
(3)(a－b)2－6(a－b)＋8＝(a－b－2)(a－b－4)．
(3分钟)1.分解因式的步骤：有公因式的先提公因式，提完公因式如果是
二项式就考虑平方差公式，三项式看是否符合完全平方公式或者能否运用十字相乘法，不能用完全平方公式和十字相乘法的多项式要考虑拆项；超过三项的多项式要采用分组分解法，分组的原则是分组后能提公因式或运用公式继续分解．
2．分解一定要彻底，分解的结果一定是积的形式，且不含公因式或能继续分解的因式． 3．检查分解是否正确的方法是把分解的结果乘回去看是否得到原式．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)
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