2020年中考数学二次函数压轴题专题训练
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1.“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价的九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同. (1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?
解(1)设进价为x元,则标价是1.5x元,由题意得
1.5x×0.9×8－8x=(1.5x－100)×7－7x, 解得x=1 000,1.5×1 000=1 500(元), 答:进价为1 000元,标价为1 500元;
(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,由题意得w= (1 500－1 000
－a),
=－ (a－80)2+26 460,
∵－ <0,∴当a=80时,w最大=26 460,
答:该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26 460元.
2.如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长; (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值. 解(1)设AB=x m,则BC=(100－2x)m,
根据题意得x(100－2x)=450,解得x1=5,x2=45, 当x=5时,100－2x=90>20,不合题意舍去; 当x=45时,100－2x=10,答:AD的长为10 m. (2)设AD=x m,
∴S= x(100－x)=－ (x－50)2+1 250, 当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1 250;
当0 (1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式; (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形,请求出此时点P的坐标; (3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积. 解(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式,得 二次函数的解析是为y=－x2+2x+3. (2)若四边形POP'C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上, 解得 － 图1 如图1,连接PP',则PE⊥CO,垂足为E, ∵C(0,3), ∴E , ∴点P的纵坐标 ,当y= 时, 即－x2+2x+3= , 解得 － x1= ,x2= (不合题意,舍),∴点 P的坐标为 . 图2 (3)如图2, P在抛物线上,设P(m,－m2+2m+3), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将点B和点C的坐标代入函数解析式,得 解得 － 直线BC的解析为y=－x+3,过点P作x轴的垂线,交BC于点Q,交x轴于点F, 设点Q的坐标为(m,－m+3), PQ=－m2+2m+3－(－m+3)=－m2+3m. 当y=0时,－x2+2x+3=0, 解得x1=－1,x2=3,OA=1,AB=3－(－1)=4, S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ = AB·OC+ PQ·OF+ PQ·FB = ×4×3+ (－m2+3m)×3 =－ － , 当m= 时,四边形ABPC的面积最大. 当m= 时,－m2+2m+3= ,即P点的坐标为 . 当点P的坐标为 时,四边形ACPB的最大面积值为 . 4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(－1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式; (2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标; (3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3), 即y=ax2－2ax－3a, ∴－2a=2,解得a=－1, ∴抛物线解析式为y=－x2+2x+3; 当x=0时,y=－x2+2x+3=3,则C(0,3), 设直线AC的解析式为y=px+q, 把A(－1,0),C(0,3)代入得 － 解得 ∴直线AC的解析式为y=3x+3. (2)∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4, ∴顶点D的坐标为(1,4), 作B点关于y轴的对称点B',连接DB'交y轴于M,如图1,则B'(－3,0), ∵MB=MB', ∴MB+MD=MB'+MD=DB',此时MB+MD的值最小,而BD的值不变, ∴此时△BDM的周长最小, 易得直线DB'的解析式为y=x+3, 当x=0时,y=x+3=3, ∴点M的坐标为(0,3). (3)存在. 过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2, ∵直线AC的解析式为y=3x+3, ∴直线PC的解析式可设为y=－ x+b, 把C(0,3)代入得b=3, ∴直线PC的解析式为y=－ x+3, － 则此时P点坐标为 ; 解方程组 解得 或 － 过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=－ x+b, 把A(－1,0)代入得 +b=0,解得b=－ , ∴直线PC的解析式为y=－ x－ , － － 则此时P点坐标为解方程组 解得 或 － － － － ,综上所述,符合条件的点P的坐标为 或 － . 5.在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=－ x2+bx+c经过点A(－1,0)和点B ,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处. (1)求这条抛物线的表达式; (2)求线段CD的长; (3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O,D,E,M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标. 解(1)把A(－1,0)和点 B 代入 y=－ x2+bx+c得 － － 解得 ∴抛物线解析式为y=－ x2+2x+ . (2)∵y=－ (x－2)2+ , ∴C ,抛物线的对称轴为直线x=2, 如图,设CD=t, 则D － , ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处, ∴∠PDC=90°,DP=DC=t, ∴P － , 把P － 代入y=－ x2+2x+ 得－ (2+t)2+2(2+t)+ －t, 整理得t2－2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴线段CD的长为2. (3)P点坐标为 ,D点坐标为 , ∵抛物线平移,使其顶点C 移到原点O的位置,∴抛物线向左平移2个单位,向下平移 个单位, 而P点 向左平移2个单位,向下平移 个单位得到点E, ∴E点坐标为(2,－2),设M(0,m), 当m>0时, ·2=8, 解得m= ,此时M点坐标为 ; 当m<0时, － ·2=8,解得m=－ ,此时M点坐标为 － ; 综上所述,M点的坐标为 或 － . 6.如图,抛物线y=ax2－5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(－3,0),C(0,4),点B在x轴上,AC=BC,过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标; (2)当△CMN是直角三角形时,求点M的坐标; (3)试求出AM+AN的最小值. － 解(1)把A(－3,0),C(0,4)代入y=ax－5ax+c得 解得 2 ∴抛物线解析式为y=－ x2+ x+4; ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OB=OA=3,∴B(3,0), ∵BD⊥x轴交抛物线于点D, ∴D点的横坐标为3, 当x=3时,y=－ ×9+ ×3+4=5, ∴D点坐标为(3,5). (2)在Rt△OBC中,BC= =5, 设M(0,m),则BN=4－m,CN=5－(4－m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB, ∴当 时,△CMN∽△COB,则∠CMN=∠COB=90°,即 － ,解得m= , 此时M点坐标为 ; 当 时,△CMN∽△CBO, 则∠CNM=∠COB=90°,即 － ,解得m= ,此时M点坐标为 ; 综上所述,M点的坐标为 或 . (3)连接DN,AD,如图, ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OC平分∠ACB, ∴∠ACO=∠BCO, ∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC, ∵DB=BC=AC=5,CM=BN, ∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN, ∴AM+AN=DN+AN, 而DN+AN≥AD(当且仅当点A,N,D共线时取等号), ∴DN+AN的最小值= , ∴AM+AN的最小值为 .
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