考点4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解
一、考点讲解：
1．二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程ax2?bx?c?0就是二次函数y?ax情况．
（2）二次函数y?ax22?bx?c当函数
y的值为0时的
?bx?c的图象与
x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一
x轴有交点时，交点的横
2y?ax?bx?c的图象与个交点、没有交点；当二次函数
坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． （3）当二次函数y?ax2?bx?c的图象与
x轴有两个交点时，则一元二次方程
x轴有一
y?ax2?bx?c有两个不相等的实数根；当二次函数y?ax2?bx?c的图象与
个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y?ax2?bx?c没有实数根．
解题小诀窍：抛物线与x轴的两个交点间的距离可以用| x1－x2|来表示。 二、经典考题剖析： 【考题1】关于二次函数
y?ax2?bx?c的图象有下列命题：①当
c=0时，函数的
图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，ax’＋bx＋c=0必有两个不
4ac?b2等实根；③函数图象最高点的纵坐标是4a；④当
b=0时，函数的图象关于y
轴对称．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
解：C 点拨：①显然正确；由a＜0及c＞0，得△=b2 -4ac＞0．所以②正确．由于a的符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定．所以③不正确．因为b=0时，对称轴为x＝0．所以④正确．
【考题2】已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
解：（1）证明：因为对于方程x2－2x－8=0，其判别式△=（－2）2 －4×（－8）－36＞0，所以方程x2－2x－8=0有两个实根，抛物线y= x2－2x－8与x轴一定有两个交点；
（2）解：因为方程x2－2x－8=0有两个根为x1=2，x2=4，所以AB=| x1－x2|＝6．又抛物线顶点P的纵坐标
4ac?b2yP =4a=－9，所以
1
SΔABP=2 ·AB·|yP|=27。
点拨：本题主要考查了二次函数，一元二次方程等知识及它们的综合应用．
考点5：用二次函数解决实际问题
一、考点讲解：
1．二次函数的应用：
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示
1出来，如三角形S=hl，我们要用x分别把h，l表示出来。经济问题：总利润=
2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。 2．解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
二、经典考题剖析：
【考题1】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数；
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
解：（1）设此一次函数解析式为y?kx?b.
15k?b?25，解得：k=?1,b=40, 即：一次函数解析式为y??x?40 则???20k?b?20（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元，w =(x?10)(40?x)??x2?50x?400 =?(x?25)2?225。产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元
点拨：求（1）（2）中解析式时，可选取表格中的任意两组值即可． 【考题4】学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA．O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA的任意平面上的抛物线如图l－2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l－2－37），水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y??x2?5x?3，请回答下列问题：
22（1）花形柱子OA的高度；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？
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