第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2014年9月20日
一、（12分） （1）球形
（2）液滴的半径r、密度?和表面张力系数?（或液滴的质量m和表面张力系数?） （3）解法一
假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为f?kr????? ①
式中，比例系数k是一个待定常数. 任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值{a}的乘积a?{a}[a]. 按照这一约定，①式在同一单位制中可写成 {f}[f]?{k}{r}?{?}?{?}?[r]?[?]?[?]?
由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而 [f]?[r]?[?]?[?]? ② 力学的基本物理量有三个：质量m、长度l和时间t，按照前述约定，在该单位制中有 m?{m}[m]，l?{l}[l]，t?{t}[t] 于是 [f]?t[?1] ③ [r]?[l] ④ [?]?m ⑤ [?]?[m][t]?2 ⑥ []l[?3]将③④⑤⑥式代入②式得[t]?1?[l]?([m][l]?3)?([m][t]?2)?
即[t]?1?[l]??3?[m]???[t]?2? ⑦ 由于在力学中[m]、[l]和[t]三者之间的相互独立性，有
??3??0， ⑧ ????0， ⑨ 2??1 ⑩
311解为???,???,??
222
解法二
假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为f?kr????? ①
式中，比例系数k是一个待定常数. 任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值{a}的乘积a?{a}[a]. 在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等[f]?[r]?[?]?[?]? ②
力学的基本物理量有三个：质量M、长度L和时间T，对应的国际单位分别为千克（kg）、米（m）、秒（s）. 在国际单位制中，振动频率
?将?式代入①式得 f?k?
?r3f的单位[f]为s
?1?1
，半径r的单位[r]为m，密度?的单位[?]为
?2?1kg?m?3，表面张力系数?的单位[?]为N?m=kg?(m?s)?m?kg?s?2，即有
[f]?s?1 ③
[r]?m ④
[?]?kg?m ⑤ [?]?kg?s?2 ⑥ 若要使①式成立，必须满足
?3s?1?m??kg?m?3???kg?s?2??(kg)????m??3??s?2?? ⑦
由于在力学中质量M、长度L和时间T的单位三者之间的相互独立性，有
??3??0， ⑧
????0， ⑨
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