§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
1 a?xi?yj…………○
我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作
2 a?(x,y)…………○
2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).
???如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA?a，则点A的位置由a唯一确定.
设OA?xi?yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，
a?b?(x1?x2,y1?y2)
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为i、j，则a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j 即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2) （2） 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB=OB?OA=( x2， y2) ? (x1，y1)= (x2? x1， y2? y1)
（3）若a?(x,y)和实数?，则?a?(?x,?y).
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y)
第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y)
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，
i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).
2．平面向量的坐标运算
若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，
则a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y). 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1? 二、讲解新课：
???a∥b (b?0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
????设a=(x1， y1) ，b=(x2， y2) 其中b?a.
??x1??x2?由a=λb得， (x1， y1) =λ(x2， y2) ?? 消去λ，x1y2-x2y1=0
?y1??y2?探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵b?0 ∴x2， y2中至少有
一个不为0
（2）充要条件不能写成
y1y2? ∵x1， x2有可能为0 x1x2???(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b?0)?
a??b
x1y2?x2y1?0§2.4平面向量的数量积
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、复习引入：
??1． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使??b=λa.
2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y) 4．平面向量的坐标运算
若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，
??
?a?(?x,?y).
若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?
???5．a∥b (b?0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，
使 P1P=λPP2，λ叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P的坐标为（
x1??x2y1??y2,），我们称λ为点P分P1P2所成的比.
1??1??8. 点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，P1P与PP2同向共线，这时称点P为P1P2的内分点.
②当λ＜０(???1)时，P1P与PP2反向共线，这时称点P为P1P2的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设OP 1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=
a??b1??a?b.
1??1??1??10．力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角. 二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
相关推荐：
loading