第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
sin α
[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α；2.能
cos απ
利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
2
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝2．诱导公式
组序 角 正弦 余弦 正切 口诀 [常用结论] 1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀
π
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数
2名称的变化．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)若α∈R，则tan α＝
sin α
恒成立．( ) cos α一 2kπ＋ α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α cos α 四 π－α sin α －cos_α 五 π－α 2cos α sin α 六 π＋α 2cos_α －sin α sin α. cos α－tan α －tan_α 函数名不变，符号看象限 函数名改变 符号看象限 (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
22
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
33[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝
5
，则cos α等于( ) 13
512512A．－ B．－ C. D.
13131313B [∵sin α＝
5
，α是第二象限角， 13
12.] 13
∴cos α＝－1－sin2α＝－
3．化简sin 690°的值是( ) 1133A. B．－ C. D．－ 2222
1B [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.选B.]
24．已知tan α＝2，则1
[∵tan α＝2， 3
sin αcos α
－
sin α－cos αcos αcos αtan α－11∴＝＝＝.] sin α＋cos αsin αcos αtan α＋13
＋cos αcos α
π??
cos?α－2???
5．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
?5?sin?2π＋α???－sin2α [原式＝
sin α
·(－sin α)·cos α＝－sin2 α.] cos α
sin α－cos α
的值为________．
sin α＋cos α
同角三角函数基本关系式的应用
15π3π
1．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )
842A．－
3
2
B.
3 2
3C．－
4B [∵
5π3π＜α＜， 42
3
D. 4
∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.
13
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
84∴cos α－sin α＝
3
.故选B.] 2
3
2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
4A.64 25
B.48 2516 25
C．1
3
A [因为tan α＝，
4则cos2α＋2sin 2α＝
D.
cosα＋4sin αcos α1＋4tan α64
＝＝＝.故选A.]
25sin2α＋cos2αtan2α＋1?3?2
?4?＋1??
2
1＋4×
34
1
3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ的值是________．
5711 [将sin θ＋cos θ＝两边平方得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 5525所以2sin θcos θ＝－
24
＜0， 25
49
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
25因为θ∈(0，π)，
?π?
所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ∈?2，π?，
??即sin θ－cos θ＞0， 7
所以sin θ－cos θ＝.]
5
[规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用方法 ?1?利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用角α的弦切互化. sin α＝tan α可以实现cos α
?2?应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用?sin α±cos α?2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. ?3?注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 诱导公式的应用
【例】 (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0?3π?
sin?2＋θ?＋2cos?π－θ???
上，则等于( )
?π?
sin?2－θ?－sin?π－θ???3
A．－
2C．0
3B. 22D. 3
?π?
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos?2＋β?＋5＝0，
??tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.C.
35
5310
10
B.37
7
1D. 3
?π??5π??2π?
(3)已知cos?6－θ?＝a，则cos?6＋θ?＋sin?3－θ?的值是________．
??????(1)B (2)C (3)0 [(1)由题可知tan θ＝3，原式＝?－2tan α＋3sin β＋5＝0，
(2)化简得?
?tan α－6sin β－1＝0，解之得tan α＝3.
sin α??＝3，cos α∵α为锐角，由方程组???sin2 α＋cos2 α＝1，得sin α＝
310
. 10
－cos θ－2cos θ－33
＝＝.
cos θ－sin θ1－tan θ2
?5π???π??
(3)因为cos?6＋θ?＝cos?π－?6－θ??
???????π?
＝－cos?6－θ?＝－a，
??
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