第一章：整式的运算
单项式
整 式
多项式 同底数幂的乘法
整 式
幂运算
的 运 算
单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘
整式的乘法
整式运算
多项式与多项式相乘 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、单项式
1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是
1 或―1。
负指数幂
整式的加减 同底数幂的除法 零指数幂 幂的乘方
积的乘方
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是
0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是 1 或―1 时，通常省略数字“ 1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式
1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。
1
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减
1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤：
（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤：
（1）代数式化简。 （2）代入计算
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法
n n
1、n 个相同因式（或因数） a 相乘，记作 a ，读作 a 的 n 次方（幂），其中 a 为底数， n 为指数， a 叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
m n
=am+n
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：
a ﹒a
m+n 。
4、此法则也可以逆用，即：
= a m n
a ﹒a
。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方
m 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 （a n
m 表示 n 个 a
） 相乘。m
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （a
n =a
mn 。 ）
mn
= （a nm =（ a
） ）n 。m
3、此法则也可以逆用，即： a
七、积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则： 积的乘方， 等于把积中的每个因式分别乘方，
然后把所得的幂相乘。 即（ab）
3、此法则也可以逆用，即：
a
n nbn
= （ab）
。
nbn
= （ab）
八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点：
（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式） 。
（3）对于含有 3 个或 3 个以上的运算，法则仍然成立。 2、不同点：
（1）同底数幂相乘是指数相加。 （2）幂的乘方是指数相乘。
（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。 九、同底数幂的除法
m n
=am-n
1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即： a ÷ a
（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即： a
m n m-n
= a
÷ a （a≠0）。 m-n
= a 十、零指数幂
n
=anbn
。 的结果
2
1、零指数幂的意义：任何不等于 十一、负指数幂
0 的数的 0 次幂都等于 1，即： a
0
=1（a≠0）。
p
1、任何不等于零的数的―
p 次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数，即：
a
1
(a 0)
p a
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为 0。
3
十二、整式的乘法 （一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的 指数不变，作为积的因式。 2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。 5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。 （二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项， 再把所得的积相加。即： m(a+b+c)=ma+mb+m。c
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。 （三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。即： (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘 以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负” 4、运算结果中有同类项的要合并同类项。 5、对于含有同一个字母的一次项系数是
2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab 。 十三、平方差公式
22
-b ，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。 1、（a+b）(a-b)=a
。
1 的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：
2、平方差公式中的 a、b 可以是单项式，也可以是多项式。
2
3、平方差公式可以逆用，即： a =（a+b）(a-b) 。 2
-b
2
-b
4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
2 2 是否容易计算。
（a+b）?(a-b) 的形式，然后看 a 与 b 十四、完全平方公式 2
1、
(a b)
2 a
2
2ab b ,( a b)
2 倍。
2 a
2 2
2ab b , 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，
加上（或减去）它们的积的
2、公式中的 a，b 可以是单项式，也可以是多项式。 3、掌握理解完全平方公式的变形公式： 2
（1） 2
a
b 2
(a b)
2 2ab
(a b)
2 2ab
1 [( a b) 2
2 (a b) ]
2 2 （2）
(a b) (a b) 4ab （3） ab
1
2
2
a b a b
) 4 [(
( ) ]
4、完全平方式：我们把形如 : 2
a
2
2 , ab b a
2
2
2 ,
ab b 的二次三项式称作完全平方式。
5、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。
4
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