证明或判断等差（等比）数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法

一．定义法 （1）an?1?an?d(常数)??an?是等差数列

a2n?2?a2n?d(常数)??a2n?是等差数列

a3n?3?a3n?d(常数)??a3n?是等差数列

（2）

an?1?q(q?0且为常数，a1?0)??an?为等比数列 an注意事项： an?an?1?d与an?1?an?d有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n?1时a0无意义；等比中一样有：n≥2时，有二．中项法 (1)2an?1ana?；②n?N时，有n?1???q（常数?0）． ???q（常数?0）

an?1an?an?an?2??an?是等差数列

2b?a?c，三内角A、B、C等差?B?60?

注：三个数a,b,c为等差数列?（2）anan?2?an?12(an?0) ?{an}是等比数列

2例1.已知数列前n项和sn?n?2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。

例2.设数列?an?的前n项的和为Sn，且a1?1,Sn?1?4an?2,n?N*， （1）设bn?an?1?2an，求证：数列?bn?是等比数列；（2）设cn?

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??an，求证：数列?cn?是等差数列； 2n例3.设数列?an?的首项a1?1，前n项和sn满足关系3tsn??2t?3?sn?1?3t，求证?an?为等比数列。

证明：由题意：3tsn??2t?3?sn?1?3t，3tsn?1??2t?3?sn?2?3t

两式相减得：3t?sn?sn?1???2t?3??sn?1?sn?2??0， 即3tan??2t?3?an?1?0， 所以an2t?3a?为定值，所以?an?为等比数列。（该证明正确吗？） n?13t

巩固练习：

?1．设数列{a?1?2an，n偶数n}的首项a1?a?14，且an?1??，记b1?n?a2n?1?4．

??an?14,n奇数（Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论． 2

2.已知数列{an}的首项a1?5，前n项和为Sn，且Sn?1?2Sn?n?5(n?N?)， 证明数列{an?1}是等比数列。

3.{an}的前项为Sn，已知a1?1且5，a2?6，a3?11，(n8)?S5(?1?2)n?n其Sn?An?123B，n?，，，?，中A，B为常数．（1）求A与B的值；（2）证明数列{an}为等差数列；

4.若Sn是数列?an?的前n项和，Sn?n2,则?an?是( ).

Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列

5.等差数列{an}的前n项和为30，前2n项和为100则它的前3n项和为（ ） Ａ．130

Ｂ．170 Ｃ．210 Ｄ．260

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