1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则(二)
学 习 目 标 核 心 素 养 1．通过复合函数求导公式的学习，培1．了解复合函数的概念(易混点)． 2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点). 养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.
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1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( ) A．1－sin 1 C．sin 1－1
1
A [因为f′(x)＝－sin x＋x，
1
所以f′(1)＝－sin 1＋1＝1－sin 1.故选A.] 2．函数y＝sin x·cos x的导数是( ) A．y′＝cos2x＋sin2x C．y′＝2cosx·sinx
B．y′＝cos2x－sin2x D．y′＝cosx·sinx B．1＋sin 1 D．－sin 1
B [y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.] 3．函数y＝
1
的导数是( )
?3x－1?2
2/20
A.
6
?3x－1?3
6
?3x－1?3
1
，
?3x－1?2
1
×(3x－1)′
?3x－1?3
B.
6
?3x－1?2
6
?3x－1?2
C．－D．－
C [∵y＝
∴y′＝－2×＝－
6
.] ?3x－1?3
4．函数y＝sin2x＋1是由________三个函数复合而成的． [答案] y＝u，u＝v2＋1，v＝sin x
复合函数的导数 3/20
【例1】 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝
1
；
?2x－1?3
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝
1－3
和u＝2x－1的复合函数， 3可看作函数y＝u?2x－1?
－
－
∴y′x＝y′u·ux′＝(u3)′(2x－1)′＝－6u4 ＝－6(2x－1)－4＝－
6
.
?2x－1?4
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， －5
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝uln 2＝5
.
?x－1?ln 2
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
4/20
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