2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的
数量积及其应用试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( ) A.0
B.1
2
2
C.2
2
D.5
解析 |a－b|＝（a－b）＝a－2a·b＋b＝1＋4＝5. 答案 D
2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b|
2
2
2
B.|a－b|≤||a|－|b||
2
C.(a＋b)＝|a＋b| D.(a＋b)·(a－b)＝a－b
解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B. 答案 B
3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝( ) A.25
B.5
C.10
D.5
1－222解析 ∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝（－1）＋2＝5.故选
x2B. 答案 B
→
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－→→→
2)，AD＝(2，1)，则AD·AC等于( ) A.5
B.4
C.3
D.2
→→→
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－→→
1).∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5，选A. 答案 A
5.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( ) πA. 3
π B. 2
2π C.
3
5π D.
6
2
解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|，设a与b的夹角为θ，
a·b－2|a|212π
则cos θ＝＝，故选C. 2＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝
|a||b|4|a|23
答案 C 二、填空题
6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________. 2
解析 由题意，得a·b＝0?x＋2(x＋1)＝0?x＝－. 32
答案 －
3
7.(2016·北京卷)设a，b是向量.则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条件. 解析 |a＋b|＝|a－b|?(a＋b)＝(a－b)?a·b＝0，
2
2
∴|a＋b|＝|a－b|?/ |a|＝|b|；|a|＝|b|?/ a·b＝0，得不到|a＋b|＝|a－b|， 因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件. 答案 既不充分也不必要
→→→
8.已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________.
→→→
解析 由已知得AB＝OB－OA＝(3，1)， →→→
AC＝OC－OA＝(2－m，1－m). →→若AB∥AC，
1
则有3(1－m)＝2－m，解得m＝. 2
→→
由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m). ∵∠ABC为锐角，
3→→
∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，可得m>－. 4
1→→→→
由题意知，当m＝时，AB∥AC，且AB与AC同向.
2
311
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是?－，?∪?，＋∞?.
?42??2?311
答案 ?－，?∪?，＋∞?
?42??2?三、解答题
9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
→→
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|－4a·b－3|b|＝61.
2
2
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
a·b－61
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－. |a||b|4×32
又0≤θ≤π，∴θ＝
2
2
2π. 3
2
2
(2)|a＋b|＝(a＋b)＝|a|＋2a·b＋|b| ＝4＋2×(－6)＋3＝13，∴|a＋b|＝13.
2π2ππ→→
(3)∵AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝. 333→→
又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，
1→→13
∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝33.
222
10.(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，3
sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. 5(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影. 3
解 (1)由m·n＝－，
5
3
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
53
所以cos A＝－.因为0 5所以sin A＝1－cosA＝(2)由正弦定理，得 2 2 2 341－?－?＝. ?5?5， sin B2 asin A5× ＝b45bsin A2 则sin B＝＝＝， a242 因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝3222 由余弦定理得(42)＝5＋c－2×5c×?－?， ?5?解得c＝1，c＝－7舍去， 22→→→ 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝. 22 能力提升题组 (建议用时：20分钟) π. 4 11.(必修4P120 1(6)改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于( ) A.2 B.5 C.2或5 D.2或5 2π 或0°，|a3 解析 由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于＋b＋c|＝（a＋b＋c） ＝a＋b＋c＋2a·b＋2b·c ＋2a·c 当夹角为0时，上式值为5；当夹角为答案 C 2π 时，上式值为2.故选C. 3 2 2 2 2 →→ 12.(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于( ) 32 A.－a 2 32 B.－a 4 32 C.a 4 32D.a 2 →→→→→→→→→→→→→→ 解析 在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD123222 ＝a＋a×a×cos 60°＝a＋a＝a. 22答案 D →→→→ 13.(2017·洛阳统考)已知A(－1，cos θ)，B(sin θ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________. →→ 解析 法一 利用几何意义求解：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB→→→→ 的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.π→→ 因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝. 4 →→→→ 法二 坐标法：OA＋OB＝(sin θ－1，cos θ＋1)，OA－OB＝(－sin θ－1，cos θ－1)，→→→→2222 由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sin θ－1)＋(cos θ＋1)＝(－sin θ－1)＋(cos θ－1)，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝答案 π 4 π. 4 14.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成→→→ 的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R). 2→ (1)若m＝n＝，求|OP|； 3 (2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.
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