【逐步提示】如图，圆与y轴有两个交点，两个交点间的距离即是圆的弦AB的长.根据垂径定理可求出半弦长
AC及BC，由于点E的坐标是（1，1）可证四边形ODEC是正方形，DE=CE=CO=OD=1.由图知OA=AC+OC,OB=BC-CO,两交点坐标可求.
【详细解答】解：如图，作EC⊥y轴于点C，ED⊥x轴于点D，因为点E的坐标为（1，1），所以ED=CE=OD=OC=1.
在直角三角形AEC中，CE=1,AE=5,所以AC=
AE2?CE2?5?1?2,所以OA=AC+CO=3,OB=BC-CO=1,所
以点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，-1）.故答案为：（0，3），（0，-1）.
【解后反思】这是垂径定理在直角坐标系内的应用.关键要结合图象找出反应坐标的线段及求出线段的长度.易错点是忽视点的坐标的符号及写错横、纵坐标的位置. 【关键词】 直角坐标系；点的坐标；垂径定理及应用
三、解答题
1. ．(山东临沂，23，9分)
如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D． (1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC=90°，AB=23，求PD的长．
【逐步提示】(1)由圆周角定理得出∠ABC=∠APC=∠CPB=∠BAC=60°，再由等腰三角形的判定得出△ABC是等腰三角形，进一步得出△ABC是等边三角形．(2)由∠PAC=90°，∠ACB=60°，可得∠D=30°；由直角三角形的性质可得DC的长，得出BD的长；由圆内接四边形的性质得出∠PBC=90°，则∠PBD=90°；在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的长．
【详细解答】解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠APC，∠CPB=∠BAC． 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴AC=BC，且∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．………………………………………………4分 (2)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=AB=BC=23． ∵∠PAC=90°，∴∠D=30°．
∴DC=2AC=43，
∴BD=23．………………………………………………………6分 ∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC=90°， ∴∠PBC=90°，∴∠PBD=90°． 在Rt△PBD中，
23BD==4．………………………………………………9分 cos3032【解后反思】(1)圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等；(2)等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形
PD=
是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【一题多解】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=AB=BC=23． ∵∠PAC=90°，∴∠D=30°．
∴DC=2AC=43，AD=6， ∴BD=23．
∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC=90°， ∴∠PBC=90°，∴∠PBD=90°．
在Rt△PBD和Rt△CAD中，∠D是公共角， ∴Rt△PBD∽Rt△CAD， ∴即BDPD=， ADDC23PD=， 643∴PD=4．
【关键词】圆周角定理；等边三角形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
2. （ 山东潍坊，21，8分）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧AB上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G. 求证：（1）四边形EBFD是矩形； （2）DG=BE.
【逐步提示】本题是一道圆与四边形的综合题，解题的关键是利用圆的基本性质得到题目所需的条件，再进行证明.
（1）要证明四边形BEDF是矩形，需证明有三个角是直角，先根据同弧所对的圆周角相等及正方形的性质，得到∠BED=∠BFD=90°，再根据两直线平行，同旁内角互补求得第三个直角即可.（2）根据圆周角与它所对弧的关系求得∠AFD=45°，则△DFG为等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等得到BE=DG. 【详细解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形.
（2）∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AD的度数是90°，
∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFG=45°， ∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG.
【解后反思】看到求与圆有关的角，应考虑如下几点（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（3）圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半（4）圆的内接四边形的对角互补等。
【关键词】 圆的有关性质；圆周角定理；矩形的判定；正方形的性质
3. （山东淄博，23，9分）已知，点M是二次函数y=ax(a＞0)图象上的一点，点F的坐标为（0，
2
1），直角4a1坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为.
8（1）求a的值；
（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N. 求证：MF=MN+OF.
【逐步提示】本题考查二次函数，圆，勾股定理，垂径定理，数形结合思想，解题关键是掌握相关知识，并能据题意画出有关图形，能数形结合地解决问题.
（1）由垂径定理的逆定理，知圆心Q在弦OF的垂直平分线上.
（2）点Q为OM的中点，由此可先得点M的坐标，进而求点Q的坐标.
2
（3）设M（n，n）（n＞0），则N（n，0），利用勾股定理求出MF即可解决问题．
11【详细解答】解：（1）圆心Q的纵坐标为，则点F的纵坐标为，
481=1. 解得a=1. 4a2
（2）由（1）知二次函数的解析式为y= x. ∴
当O，Q，M三点在同一条直线上时，点M的纵坐标为
1. 4
将y=
112
代入y= x，得x=?. 421111，)或(－，). 2424∴点M的坐标为(点Q的坐标为(
1111，)或(－，). 48482
（3）设M(n，n)(n＞0)，∴N(n，0). ∵F(0，
121)，∴MN+OF= n+. 4411MF=n2?(n2?)2= n2+.
44∴MF=MN+OF．
【解后反思】知道圆心在任意弦的垂直平分线上是解决（1）题的关键；知道圆心是直径的中点是解（2）的关键；设点的坐标，利用勾股定理求两点间的距离是解决（3）题的关键. 【关键词】二次函数，圆，勾股定理，垂径定理，数形结合思想
4. （ 四川省成都市，20，10分）如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD、BE． ⑴求证：△ABD∽△AEB；
AB4＝时，求tanE； BC3⑶在⑵的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．
B F ⑵当A
D
C
E
【逐步提示】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的综合应用．⑴利用直径所对圆周角是直角，求得∠DBE＝∠ABC＝90°，然后通过∠ABD＝∠CBE，∠E＝∠CBE，得到∠E＝∠ABD即可证明△ABD∽△AEB；⑵过B作BH⊥AE于点H，根据题意设AB＝4x，BC＝3x，利用勾股定理及三角形面积公式在Rt△ABC中，求出AC、高BH及HE的长，再在Rt△BEH中，运用三角函数定义即可求出tanE；⑶过F作FM⊥AE交AE于点M．根据角平分线的性质求出
EF的值，再利用△EFM∽△EBH，把BFEM，FM用含x的式子表示出来，在Rt△AFM中利用勾股定理列方程求解．
【详细解答】解：⑴∵DE为⊙C的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBE，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠E，∴∠ABD＝∠E，又∵∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB． ⑵过B作BH⊥AE交AE于点H． AB4∵＝，设AB＝4x，BC＝3x，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2?AC2＝(4x)2?(3x)2＝5x，CE＝3x， BC31211AB?BC12AC·BH＝AB·BC，∴AC·BH＝AB·BC，∴BH＝＝x，∴AH＝AB2?BH2＝(4x)2?(x)2522AC5161624＝x，∴HE＝AC＋CE－AH＝5x＋3x－x＝x，
555∵S△ABC＝
∴tanE＝
BH1＝． 2HE
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