第2课时 函数的定义域与值域
1．下列函数中，与函数y＝
13
A．y＝
1
sinx
x
定义域相同的函数为( )
x
lnxB．y＝ xsinxD．y＝ x
C．y＝xe 答案 D 解析 因为y＝
1lnx
的定义域为{x|x≠0}，而y＝的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为{x|x>0}，
sinxx3
x
1
sinxx
y＝xe的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠0}，故D项正确．
x
2．(2017·山东)设函数y＝4－x的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( ) A．(1，2) C．(－2，1) 答案 D
解析 由4－x≥0，得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.
－x－3x＋4
3．函数f(x)＝的定义域为( )
lg（x＋1）A．(－1，0)∪(0，1] C．(－4，－1] 答案 A
－x－3x＋4≥0，??
解析 要使函数f(x)有意义，应有?x＋1>0，解得－1 ??x＋1≠1，4．若f(x)的定义域是[－1，1]，则f(sinx)的定义域为( ) A．R ππ C．[－，] 22答案 A 5．函数y＝1＋x－1－2x的值域为( ) 3 A．(－∞，) 23 C．(，＋∞) 2答案 B 3 B．(－∞，] 23 D．[，＋∞) 2B．[－1，1] D．[－sin1，sin1] 2 2 2 2B．(1，2] D．[－2，1) B．(－1，1] D．(－4，0)∪(0，1] 1 1－t1－t1122 解析 设1－2x＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t－2t＋3)＝－(t＋1)＋2，因为t≥0， 222233 所以y≤.所以函数y＝1＋x－1－2x的值域为(－∞，]，故选B. 22 ?－x＋6，x≤2，? 6．(2018·东北三校联考)若函数f(x)＝?(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值 ?3＋logx，x>2，a? 22 范围是( ) A．(1，2] C．[2，＋∞) 答案 A ??3＋loga2≥4， 解析 ∵当x≤2时，－x＋6≥4，f(x)的值域为[4，＋∞)，∴?解得1 ?a>1，? B．(0，2] D．(1，22] 选A. 252 7．(2018·河北衡水武邑中学月考)若函数y＝x－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m 4的取值范围是( ) A．(0，4] 3 C．[，3] 2答案 C 解析 函数y＝x－3x－4的图像如图所示． 2 25 B．[－，－4] 43 D．[，＋∞) 2 3225253 因为y＝(x－)－≥－，由图可知，m的取值从对称轴的横坐标开始，一直到点(0，－4)关于对称轴对 24423 称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m的取值范围是[，3]． 2 x（x≤0），??x－12 8．(2018·人大附中月考)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2(x>0)；③y＝x＋2x－10；④y＝?1 （x>0）.??x其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A．1 C．3 答案 B B．2 D．4 2 解析 ①y＝3－x的定义域和值域均为R，②y＝2 x－1 12 (x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为(，＋∞)，③y＝x 2 x（x≤0），?? ＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝?1的定义域和值域均为R.所以定义域与值域 （x>0），??x相同的函数是①④，共有2个，故选B. 9．(2018·湖南长沙一中)设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足条件；存在[a，b]?D，使f(x)在[a，b]上abx 的值域是[，]，则称f(x)为“倍缩函数”．若函数f(x)＝log2(2＋t)为“倍缩函数”，则实数t的取值范 22围是( ) 1 A．(0，) 41 C．(0，) 2答案 A x abxbxx 解析 由题设可得log2(2＋t)＝且log2(2＋t)＝，故方程log2(2＋t)＝有两个不等的实数根，即22＝2 222 a B．(0，1) 1 D．(，＋∞) 4 x 12 ＋t有两个不等的实数根．令22＝r>0，则t＝r－r在(0，＋∞)上有两个不等的实数根．因为tmax＝，所以412 当t∈(0，)时，函数y＝r－r(r>0)的图像与直线y＝t有两个不同交点．故选A. 410．已知函数f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，则函数y＝[f(x)]＋f(x)的值域为( ) A．[6，10] C．[6，13] 答案 C ??1≤x≤9， 解析 ∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1，9]，∴要使[f(x)]＋f(x)有意义，则?∴1≤x≤3，即y2 ?1≤x≤9，? 2 2 2 2 B．[2，13] D．[6，13) ＝[f(x)]＋f(x)的定义域为[1，3]．又y＝(2＋log3x)＋2＋log3x＝(log3x＋3)－3，x∈[1，3]，log3x∈[0，1]，∴ymin＝(0＋3)－3＝6，ymax＝(1＋3)－3＝13，∴函数y＝[f(x)]＋f(x)的值域为[6，13]． 11．(2018·福建连城一中期中)函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d的部分数值如下： x y －3 －80 －2 －24 －1 0 0 4 1 0 2 0 3 16 4 60 5 144 6 280 3 2 2 2 2 2 22222 则函数y＝lgf(x)的定义域为________． 答案 (－1，1)∪(2，＋∞) 解析 依题意有f(x)>0，由表格可看出，在区间(－1，1)，(2，＋∞)上f(x)的函数值是大于零的． e 12．若函数f(x)＝2的定义域为R，求实数a的取值范围________． x＋ax＋a答案 (0，4) 解析 ∵f(x)的定义域为R， x 3 ∴x＋ax＋a≠0恒成立．∴Δ＝a－4a<0， ∴0 13．函数f(x)＝的值域为________． x＋1答案 (－∞，2)∪(2，＋∞) 2x＋12（x＋1）－111 解析 ∵f(x)＝＝＝2－，≠0，∴f(x)≠2，∴函数f(x)的值域为(－∞，2)∪(2， x＋1x＋1x＋1x＋1＋∞)． 10＋10 14．函数y＝x－x的值域为________． 10－10答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)． 10＋10y＋12x 解析 由y＝x＝10. －x，得10－10y－1y＋12x ∵10>0，∴>0.∴y<－1或y>1. y－1即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． x 15．函数y＝2(x>0)的值域是________． x＋x＋11 答案 (0，] 3 xx1 解析 由y＝2(x>0)，得0<2＝≤ x＋x＋1x＋x＋11 x＋＋12x1 此该函数的值域是(0，]． 3 16．(2018·福州市质检)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a ??x－2，x∈[－2，1]，f(x)＝?3 ?x－2，x∈（1，2]，? 2 x －x x －x 22 11 x·＋1x 1 ＝，当且仅当x＝1时，等号成立，因3 当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]； 当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]． 故当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]． 17．已知函数y＝x＋ax－1＋2a的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围． 答案 {a|a≥4＋23或a≤4－23} 解析 令t＝g(x)＝x＋ax－1＋2a，要使函数y＝t的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)?{y|y＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a－4(2a－1)≥0，即a－8a＋4≥0，解得a≥4＋23或a≤4－23，∴a的取值范围是{a|a≥4＋23或a≤4－23}． 2 2 22 4
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