【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第6篇 第3讲 基本不等式

答案 D

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2．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是

A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) C．(－2,4)

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解析 ∵x>0，y>0且x＋y＝1， 4yx?21?∴x＋2y＝(x＋2y)?x＋y?＝4＋x＋y ??≥4＋2

4yxx·y＝8，

( )．

B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－4,2)

4yx

当且仅当x＝y，

即x＝4，y＝2时取等号，

∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4

3．(2014·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． ?x＋3y?2

?，令x＋解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤?

?2?3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6. 答案 6 三、解答题

4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．

(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

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(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)

解 (1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元， 则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)， 即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，

由－x2＋20x－50＞0，解得10－52＜x＜10＋52.

而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．

(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为

11?25??25?2

y＝x[y＋(25－x)]＝x(－x＋19x－25)＝19－?x＋x?，而19－?x＋x?≤19－

????225

x·x＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，

才能使年平均利润最大．

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