数学中的化归思想方法
摘要：所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。
关键词： 转化 变形 还原 化归法 实现化归 一．化归法概述
数学是探求、认识和刻划自然规律的重要工具。在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为
平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。
这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。如在引入“三角形内角和定理”时，可把三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平角，这就是转化，也可用下法引入，如下图（1）中：a∥b，则∠1＋∠2＝？（180°），图（2）中∠1＋∠2与180°的关系？因为∠3=∠4,于是有∠1＋∠2＋∠4＝180°，充分运用了知识间内在联系，使新旧知识得到顺利转化。
2 b
2 3 b 1 a
1 4 a
1
图(1) 图(2)
所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。在数学方法中所论及的“化归”方法是指我们在解决问题的过程中，不是对问题进行直接攻击，而是把待解决的问题进行变形，转化，直到归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题解答的一种手段和方法。
化归的根本特征：在解决一个问题时我们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通
过问题的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。
二．化归的基本方法
“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是：“和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。”因此“化归”的方向应是由未知到已知，由难到易，由繁到简，由一般到特殊。
数学中用以实现化归的方法很多，以下我介绍几种主要的方法： 1．分割法
什么是分割法？法国著名数学家笛卡尔说：“把你所考虑的每一个问题按照可能的需要分成若干部分，使它们更易于求解。”这种把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐一求解的方法，叫做分割法。一般地说，用分割法解决问题的过程可以归结为如下框图：分割法又分以下几种方法：
2
例1：高二学习的扇形和三角形这些基本图形的面积计算，可以用形体分割法求出比较复杂的图形的面积．如求弓形的面积 S弓形=S扇形-S三角形．
例2： 如图：三棱锥P-ABC中，
已知：PA⊥BC，PA=BC=，PA、BC的公垂线ED=h， 求证：三棱锥P-ABC的体积
此例可通过对未知成分进行分割来实现化归．
当连结AD、PD后，就把三棱锥P－ABC分成两个三棱锥B－PAD和C－PAD．于是
2．映射法．
映射法是用以实现化归的一种重要方法，所谓映射，是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”。利用映射法解决问题的过程为：首先通过映射将原来的问题转化为问题，然后，在求得问题的解答以后，再通过逆映射求得原问题的解。
3
学习了集合与映射后，就用映射来定义函数，而把反函数的概念建立在一一映射的基础上，而确定反函数y=f (x)的映射是一个从原函数值域集合到定义域集合上的一个一一映射。
–1
例3：求函数
的值域
解：原函数定义域为X∈(-∞, -)∪(-, +∞)
求出y=
1?5x的反函数 f (x)= 1?2x
–1
∵反函数定义域为 (-∞,
)∪(, +∞)
∴原函数值域(-∞, )∪(, +∞)
映射法是实现化归的一种重要方法，如由于建立了直角坐标系，使平面上的点与有序实数对，曲线与方程建立了对应关系，使几何问题转化为代数问题。此外复数与复平面上的点、向量也建立起一一对应关系，把向量引进了代数，使复数的代表运算可用向量的几何运算来进行。
3．恒等变形法
在数学解题中，恒等变形占有十分重要的位置，特别是在求解方程或证明一些整除性问题时，利用恒等变形以实现由未知向已知的化归，使我们比较容易地求得问题的解。
例4： 解下列方程： (1)2x＋3x-2x=0；
3
2
分析：解上面两个方程，先利用恒等变形把它化为容易求解的方程。 (1)可变为x(2x-1)(x＋2)=0．
32
例5：求证：f(n)＝n＋6n＋11n＋12 (n∈N)能被6整除。 分析：把原式进行恒等变形，得到
4
相关推荐：
loading