实验五 应用FFT对信号进行频谱分析
一．实验目的
1．在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。
2．熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
3．了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。
二．实验内容
用FFT对如下典型信号进行离散傅里叶变换，并观察其图形
??(n?p)q?xa(n)??e??0（1）高斯序列：
20?n?15else
?e?n?sin2?fn0?n?15xb(n)??0else ?（2）衰减正旋序列：
（3）三角波序列
?n?10?n?3?xc(n)??8?n4?n?7?0else??4?n0?n?3?xd(n)??n?34?n?7?0else?
（4）反三角序列
三、试验预备知识
一个连续信号的频谱可以用它的傅立叶变换表示为
??Xa(j?)?
???j?txa(t)edt? (2-1)
如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列
x(n)?xa(nT) (2-2)
同样可以对该序列进行Z变换，其中T为采样周期
X(Z)?
n????x(n)z???n (2-3)
j?当z?e的时候，我们就得到了序列的傅立叶变换
X(e)?j?n????x(n)e???j?n (2-4)
其中?为数字角频率，和模拟域频率的关系为
???T??/fs (2-5)
式中的fs是采样频率。上式说明数字角频率是模拟频率对采样速率fs的归一化。同模拟域的情况相似，数字角频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅立叶变换称为序列的频谱。序列的傅立叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系：
1????2?mX(e)??Xa(j)T??T (2-6)
j?即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从式(2-6)可以看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。
在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅立叶变换（DFT），这一变换可以很好的反映序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现。当序列的长度为N时，定义DFT为：
nkX(k)??x(n)WNn?0N?1 (2-7)
其中WN?e?j2?N，它的反变换定义为：
1N?1?nkx(n)??X(k)WNNk?0 (2-8)
?kN令z?WX(z)，则有：
?kz?WNnk??x(n)WNn?0N?1 (2-9)
?k可以得到，X(k)?X(z)z?WN，z?W?kN是Z平面单位圆上幅角为
??2?kN的点，
就是将单位圆进行N等分以后第K个点。所以，X(K)是Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混叠。
DFT是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。如同理论课教材所讨论的，在运用DFT进行频谱分析的时候可能有三种误差，即：
（1）混叠现象
2?从中可以看出，序列的频谱时采样信号频谱的周期延拓，周期是T，因此当采样速率
不满足定理Nyquist，经过采样就会发生频谱混叠。这导致采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。所以，在利用DFT分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。避免混叠现象的唯一方法是保证采样的速率足够高，使频谱交叠的现象不出现。这告诉我们，在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。 （2）泄漏现象
实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它
们。这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析。这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。值得一提的是，泄漏是不能和混叠完全分离开的，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。 （3）栅栏效应
因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应，从某种角度看， 用DFT来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真是的频谱。这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT的点数。这种方法的实质是改变了真是频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些频谱的峰点或谷点显露出来。注意，这时候每根谱线所对应的频和原来的已经不相同了。
从上面的分析过程可以看出，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。
FFT并不是DFT不相同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次的分解，使其成为若干小店数DFT的组合，从而减小运算量。常
M用的FFT是以2为基数的，其长度为N?2。它的运算效率高，程序比较简单，使用也
十分的方便。当需要进行变换的序列的长度不是2的整数次方的时候，为了使用以2为基的FFT，可以用末尾补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。IFFT一般也可以通过FFT程序来完成，比较式和，只要对取共轭，进行FFT运算，然后再去共轭，并乘以因子，就可以完成IFFT。
四．思考题
1．实验中的信号序列xc(n)和xd(n)，在单位圆上的Z变化频谱
Xc(ej?)和
Xd(ej?)和会相同吗？如果不同，你能说出哪一个低频分量更多一些吗？为什么？
2．对一个有限长序列进行离散傅立叶变换（DFT），等价于将该序列周期延拓后进行傅立叶级数展开(DFS)。因为DFS也只是取其中一个周期来运算，所以FFT 在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。如果实正弦信号sin(2?fn)，f?0.1，用16点的FFT来作DFS运算，得到的频谱是信号本身的真是谱吗? 3．观察高斯序列的时域和频域特性 4．观察衰减正旋序列的时域和幅频特性
5．观测三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性
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