a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).其中2名学生中恰有一人的分数在[90,100]内的情况有10种,
故所抽取的2名学生中恰有一人的分数在[90,100]内的概率P=考向2 几何概型
【例3】 (2018·福州市质检)
.
如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率是 .
解析:依题意,菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积,菱形ABCD的面积为
2×2×sin 60°=2.所以该点落在阴影部分的概率P=1-=1-π.
答案:1-
π
(1)求古典概型概率的一般步骤 ①求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法; ②求出事件A所包含的基本事件的个数m; ③代入公式P(A)=求解. (2)求几何概型概率要寻找构成试验的全部结果所构成的区域和事件发生所构成的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 热点训练2:(1)(2018·广州市调研)
如图,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,直角三角形
中较小的锐角θ=.若向该大正方形区域内随机投掷一点,则该点落在中间小正方形区域内的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2018·石家庄市重点高中摸底)一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
解析:(1)在每个直角三角形中,斜边长为2,有一个内角为,所以每个直角三角形的面积
S=,所以所求概率P==.故选A.
(2)从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342,共8个结
果,所以这个三位数是“凸数”的概率为
用样本估计总体
=.故选B.
【例4】 (2018·山东省、湖北省部分重点中学二次质检)某市教育局在数学竞赛结束后,为了评估学生的数学素养,特从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩(单位:分,均为整数)作为样本进行估计,将成绩进行整理后分成五组,从左到右依次记为第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、三、四、五组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.
(1)求第二组的频率,并补全频率分布直方图; (2)估计这1 000名学生成绩的平均数和方差;
(3)若成绩不低于65分的学生至少占总考生的75%就说明整体的数学素养优秀,否则不优秀,根据以上抽样情况,判断该市学生的数学素养情况.
解:(1)第二组的频率为1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40, 补全的频率分布直方图如图:
(2)样本的平均数=54.5×0.30+64.5×0.40+74.5×0.15+84.5×0.10+94.5×0.05=66.5,
222222
样本的方差s=(-12)×0.30+(-2)×0.40+8×0.15+18×0.10+28×0.05=126, 估计这1 000名学生成绩的平均数为66.5分,方差为126.
(3)成绩不低于65分的学生所占比例估计为1-0.3-0.4×=0.5=50%, 由于该估计值小于75%,故该市学生的数学素养不优秀.
用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法 (1)用样本估计总体时,样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值; (2)若给出图形,如直方图,可分析样本数据的分布情况,大致判断平均数的范围,并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小. (3)根据频率分布直方图求样本的平均数、方差(或标准差)、众数时,同一组数据中的数据用该组区间的中点值(组中值)代表. 热点训练3:(2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( ) (A)月接待游客量逐月增加 (B)年接待游客量逐年增加
(C)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
(D)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 解析:由题图可知应选A.
热点训练4:(2018·长沙市名校实验班阶段测试)某农科所培育一种新型水稻品种,首批培育幼苗2 000株,株长均介于285 mm~335 mm,研究员从中随机抽取100株对株长进行统计分析,得到如下频率分布表. 株长/mm 频数 频率 [285,295) 2 0.02 [295,305) 31 a [305,315) 35 0.35 [315,325) [325,335] 合计 (1)根据频率分布表中的数据写出a,b的值;
b 4 100 0.28 0.04 1 (2)求样本的平均株长和样本方差s(同一组数据用该区间的中点值代替,求s时,用的整数部分计算);
(3)水稻幼苗在进入育种试验阶段后,研究员为了进一步优化品种,分别选取株长在[285,295)内的两株幼苗A,B的花粉与株长在[325,335]内的三株幼苗a,b,c的花粉进行随机杂交授粉,求A和a正好杂交授粉的概率. 解:(1)a=31÷100=0.31, b=100×0.28=28.
(2)=290×0.02+300×0.31+310×0.35+320×0.28+330×0.04=310.1(mm), 22222
s=20×0.02+10×0.31+10×0.28+20×0.04=83.
(3)由题意知幼苗A,B的花粉与幼苗a,b,c的花粉进行杂交的所有可能情况为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,共6种,
22
所以A和a正好杂交授粉的概率为.
【例1】 (2018·郑州市质量预测)
我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛),他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86.若正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列,则
+的最小值为( )
(A) (B)2 (C) (D)9
解析:由甲班学生成绩的中位数是81,可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数,故x=1.由乙班学生成绩的平均数为86,可得(-10)+(-6)+(-4)+(y-6)+5+7+10=0,
2
解得y=4.由x,G,y成等比数列,可得G=xy=4,由正实数a,b满足a,G,b成等差数列,可得
G=2,a+b=2G=4,所以+=+×+=1+++4≥×(5+4)=(当且仅当b=2a时取等
号).故+的最小值为.故选C.
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