【例2】 (2018·惠州市调研)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获得利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品,以x(单位:盒,100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数; (2)将y表示为x的函数;
(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率.
解:(1)由频率分布直方图得,这个开学季内市场需求量x的众数是150盒, 需求量在[100,120)内的频率为0.005 0×20=0.1, 需求量在[120,140)内的频率为0.010 0×20=0.2, 需求量在[140,160)内的频率为0.015 0×20=0.3, 需求量在[160,180)内的频率为0.012 5×20=0.25, 需求量在[180,200]内的频率为0.007 5×20=0.15,
则平均数=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153(盒). (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元, 所以当100≤x<160时,y=30x-10×(160-x)=40x-1 600, 当160≤x≤200时,y=160×30=4 800, 所以y=
(3)因为利润y不少于4 000元,所以当100≤x<160时,由40x-1 600≥4 000,解得160>x≥140.
当160≤x≤200时,y=4 800>4 000恒成立,所以200≥x≥140时,利润y不少于4 000元. 所以由(1)知利润y不少于4 000元的概率P=1-0.1-0.2=0.7. 【例3】 (2018·广州市二次综合测试)A药店计划从甲、乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材,为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中各随机抽取10件,以抽取的10件中药材的质量(单位:克)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示.已知A药店根据中药材的质量的稳定性选择药厂.
(1)根据样本数据,A药店应选择哪家药厂购买中药材?(不必说明理由)
(2)若将抽取的样本分布近似看成总体分布,药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表: 每件中药材的质量n/克 n<15 购买价格/(元/件) 50 15≤n≤20 n>20
(i)估计A药店所购买的100件中药材的总质量;
a 100 (ii)若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7 000元,求a的最大值. 解:(1)A药店应选择乙药厂购买中药材.
(2)(i)从乙药厂所抽取的10件中药材的质量的平均值为
=×(7+9+11+12+12+17+18+21+21+22)=15(克),
故A药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100×15=1 500(克).
(ii)由题知乙药厂所提供的每件中药材的质量n<15的概率为=0.5,15≤n≤20的概率为
=0.2,n>20的概率为=0.3,则A药店所购买的100件中药材的总费用为
100×(50×0.5+0.2a+100×0.3).
依题意得100×(50×0.5+0.2a+100×0.3)≤7 000, 解得a≤75,
所以a的最大值为75.
(对应学生用书第49页)
【典例】 (2018·全国Ⅰ卷,文19)(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 频数
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 频数
(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
[0, 0.1) 1 [0.1, 0.2) 5 [0.2, 0.3) 13 [0.3, 0.4) 10 [0.4, 0.5) 16 [0.5, 0.6) 5 [0, 0.1) 1 [0.1, 0.2) 3 [0.2, 0.3) 2 [0.3, 0.4) 4 [0.4, 0.5) 9 [0.5, 0.6) 26 [0.6, 0.7) 5 3
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
评分细则:
解:(1)如图所示.
3
…4分
3
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,6分
3
因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m的概率的估计值为0.48.7分 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.9分
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.11分
3
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m).12分
注:第(1)问得分说明:正确作出频率分布直方图,得4分;第(2)问得分说明:①计算出频率得
2分,②由频率估计出概率,得1分,第(3)问得分说明:①计算出使用节水龙头前、后50天日用水量的平均数,各得2分,②计算出一年节省水量,得1分. 【答题启示】
(1)频率分布直方图的长方形的高度为的值,本题常把高度与频率混淆而失分.
(2)频率公式:频率==·组距(即频率分布直方图小矩形的面积).
(3)用样本频率估计概率.本题常只计算出频率,而忽视说明用频率值估计概率值,而失分.
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