福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查
理科数学试卷
（满分：150分;完卷时间：120分钟）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1． 如图，复平面上的点Z1,Z2,Z3,Z4到原点的距离都相等．若复数z所对应的点
为Z1，则复数z的共轭复数所对应的点为（ ）． A．Z1 C．Z3
B．Z2 D．Z4
Z2OZ3yZ1Z4xπ2． 已知tan(??)?3，则tan?的值是（ ）．
4A．2
B．
第1题图
1 2C．?1 D．?3
3． 已知A?B，则“x?A”是“x?B”的（ ）．
?A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序
框图执行（其中a为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值． 若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A．8 C．29 率为（ ）． A．C．
B．15 D．36
第4题图
5． 如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概
1 πB．D．
2 π3 π1 2C．(?9,1)
第5题图
6． 已知函数f?x??lg(1?x)的值域为(??,1]，则函数f?x?的定义域为（ ）．
A．[?9,??)
B．[0,??)
D．[?9,1)
7． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这
·1·
枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A．0.30
B．0.35
C．0.40
D．0.65
8． △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若
A．60?
B． 75?
cosAb． ??2，则角C的大小为（ ）
cosBaD．120?
C．90?
x2y29． 若双曲线?:2?2?1（a?0,b?0）的右焦点?4,0?到其渐近线的距离为23，则双曲线?的
ab离心率为（ ）． A．2
B．3 C．2
D．4
??ab,a?0,10．定义运算“?”为：a?b??a?b.若函数f(x)?(x?1)?x，则该函数的图象大致是
2,a≥0??（ ）．
y54321y54321O1x A
–3–2–1B
C
–3–2–1O1xD
11．已知?ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为?0,1?,CP?1，则OA?OB?OP的最小值是（ ）．
?2,0,?0,?2?，O为坐标原点，动点P满足
?A．4?23 B．3?1 C．3?1 D．3 12．已知直线l:y?ax?b与曲线?:x?1?y没有公共点．若平行于l的直线与曲线?有且只有一个y公共点，则符合条件的直线l（ ）． A．不存在
B．恰有一条
C．恰有两条
D．有无数条
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） ?x≤0,
?
13．若变量x,y满足约束条件?y≥0,，则z?x?y的最小值为 ★★★ ．
?y?x≤2?,1,???,a614．已知(1?x)6?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5?a6x6，则a0a·2·
中的所有偶数的和等于 ★．．
★★ ．
15．已知椭圆x2?3y2?9的左焦点为F1，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．若点
的周长为 ★★★ ． D是线段PF1的中点，则?FOD116. 若数列?an?满足an?1?an?1?2an（n?2），则称数列?an?为凹数列．已知等差数 ?bn?列?bn?的公差为d，b1?2，且数列??是凹数列，则d的取值范围为 ★★★ ．
?n?三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
已知等比数列{an}的公比q?1，a1，a2是方程x2?3x?2?0的两根． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列?2n?an?的前n项和Sn．
18.（本小题满分12分）
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值（数学期望）.
19.（本小题满分12分）
???已知函数f(x)?23sin?x?在同一半周期内的图象过点O,P,Q，其中O为坐标原点，P为函
?4?数f(x)图象的最高点，Q为函数f(x)的图象与x轴的正半轴的交点．
（Ⅰ）试判断?OPQ的形状，并说明理由．
???（Ⅱ）若将?OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角??0????时，顶2??yP'P点P?,Q?恰好同时落在曲线y?
k
，求实数k的值． ?x?0?上（如图所示）
x
Q'OQ第19题图 x·3·
20.（本小题满分12分）
一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m（1≤m≤4且m?R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函?10,0≤x?6,??4?x. 数关系式近似为y?m?f(x)，其中f?x???x?4?,6≤x≤8?2?(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知抛物线?的顶点为坐标原点，焦点为F(0,1)． （Ⅰ）求抛物线?的方程；
（Ⅱ）若点P为抛物线?的准线上的任意一点，过点P作抛物线?的切线PA与PB，切点分别为A,B，求证：直线AB恒过某一定点；
(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． ．．． 22.（本小题满分14分）
已知函数f?x??exsinx?cosx,g?x??xcosx?2ex，其中e是自然对数的底数．
π（Ⅰ）判断函数y?f?x?在(0,)内的零点的个数，并说明理由；
2?π??π?（Ⅱ）?x1??0,?,?x2??0,?，使得不等式f(x1)?g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围；
?2??2?（Ⅲ）若x??1，求证：f(x)?g(x)?0．
·4·
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理科数学试卷参考答案及评分细则
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，
6．D 12．C
13．?2 14．32 15．3?6 16．(??,2] 三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程x2?3x?2?0的两根分别为1,2， ·························································· 1分 依题意得a1?1，a2?2． ································································································ 2分 所以q?2， ······················································································································· 3分 所以数列{an}的通项公式为an?2n?1． ·········································································· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n?an?n?2n， ··················································································· 5分 所以Sn?1?2?2?22?????n?2n， ············································ ①
························ ② 2?Sn?1?22?2?23?????(n?1)?2n?n?2n?1， ·由①－②得
·············································································· 8分 ?Sn?2?22?23?????2n?n?2n?1， ·
n2?2?2即 ?Sn?······················································································ 11分 ?n?2n?1， ·
1?2所以Sn?2?(n?1)?2n?1． ····························································································· 12分
18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．
解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A、B、C，则A,B,C分别表示这3个人不接受挑战． 这3个人参与该项活动的可能结果为：?A,B,C?，A,B,C，A,B,C，A,B,C，A,B,C，A,B,C，·················································································· 2分 ?A,B,C?，?A,B,C?．共有8种； ·
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：?A,B,C?，?A,B,C?，?A,B,C?，?A,B,C?，共有4种． ··········································································································································· 3分
41根据古典概型的概率公式，所求的概率为P??． ·················································· 4分
82（说明：若学生先设“用?x,y,z?中的x,y,z依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成?A,B,C?,A,B,C,A,B,C，A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C，不扣分．）
（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
11··································· 5分 所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． ·
220651630?1??1?1?1??1??所以P?X?0??C6?????，P?X?1??C6??????，
?2??2?64?2??2?6432????????????????????????·5·
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