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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
１． 设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立，其中a，x，y3x2?xy?y2是两两不同的实数，则2的值是 2x?xy?y15（A）3 ； （B）； （C）2； （D）．
33答（ ）
２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 答（ ）
３． 方程x2?x?1?0的解是
1?5?1?5； （B）； 221?5?1?5?1?5或； （D）?． 222-可编辑-
（A）
（C）
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答（ ）
?1n已知：x?(1991?1991n)（n是自然数）．那么(x?1?x2)n，的值是
211４．
（Ａ）1991?1； （Ｂ）?1991?1； （Ｃ）(?1)n1991； （Ｄ）(?1)n1991?1． 答（ ）
５． 若1?2?3???99?100?12nM，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自
然数，则Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）
６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a?b?c，b?c?d，c?d?a，那么
a?b?c?d的最大值是
（Ａ）?1；（Ｂ）?5；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）
７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是
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S1?1，S2?3和S3?1，那么，正方形OPQR的边长是
（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）
８． 在锐角ΔABC中，AC?1，AB?c，?A?60?，ΔABC的外接圆半径R≤1，则
11（Ａ）< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤；
22答（ ）
（C）c > 2； （D）c = 2． 答（ ） 二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ．
２．已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，
2b?3c? ． a
(x?1)m(x?1)p?1?3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０，恒成立，则 xnxq(m2?2n?p)2q? ．
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４．四边形ABCD中，∠ ABC?135?，∠BCD?120?，AB?6，BC?5?3，
CD = 6，则AD = ．
第二试
x + y， x － y， x y，
x y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且
BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF
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三、将正方形ABCD分割为 n2个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
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