2019中考数学专题复习——矩形、菱形、正方形

第2课时 矩形、菱形、正方形

基础达标训练 1. (2017聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )

A. AB＝AC B. AD＝BD C. BE⊥AC D. BE平分∠ABC 2. (2017长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )

A. 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm

第1题图 第2题图 第3题图

3. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列说法正确的是( )

A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形

5. (2017陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为( )

A. 3102 B. 31010355 C. 5 D. 5

6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且

EB平分∠AEC，则△ABE的面积为( )

A. 2.4 B. 2 C. 1.8 D. 1.5

第5题图 第6题图

7. (2017西宁)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )

A. 5 B. 4 C. 34

2

D. 34

第7题图 第8题图

8. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至点E，使CE＝BD，若∠ADB＝30°，则∠E的度数是( )

A. 45° B. 30° C. 20° D. 15°

9. (2017南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 4

10. (2017绵阳)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点，若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3

第10题图 第11题图 第13题图

11. 如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也是正方形，则△DBF的面积为( )

A. 4 B. 2 C. 22 D. 2 12. (2017孝感)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．

13. (2017钦州模拟)如图，在正方形ABCD中，连接AC，点E在AB边上，过点E作EF⊥AC交AC于点F，连接EC，若AF＝3，△EFC的周长为12，则EC＝________．

14. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝________．

第14题图 第15题图

15. (2017徐州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝________．

16. (2017兰州)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件，下面给出

0

了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD，其中正确的序号是：________________(写出所有正确的序号)．

17. (2017广东省卷)如图所示，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．

(1)求证：AD⊥BF；

(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．

第17题图

18. (源自人教八下第69页)如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC反向延长线上的一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CM的反向延长线于点F.

求证：AE＝EF.

第18题图

19. (2017贵阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边BC、AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.

(1)证明：AF＝CE；

(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．

第19题图

20. (源自人教八下第67页)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.

求证：(1)OD＝FC；

(2)四边形ODFC是菱形．

第20题图

21. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；

(2)若∠E＝60°，AC＝43，求菱形ABCD的面积．

第21题图

22. (2017杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.

(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

第22题图

能力提升拓展

1. (2017满足S△PAB＝1安徽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点PS矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的

最小值为( 3

)

A.29 B.34 C．52 D.41

第1题图 第2题图

2. (2017河南)我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O.固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( )

A. (3，1) B. (2，1) C. (1，3) D. (2，3) 3. (2017贵港模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E在BC边上，且CE＝2，AE与BD交于点F，连接CF，则下列结论不正确的是( )

A. △ABF≌△CBF B. △ADF∽△EBF C. tan∠EAB＝3

3

D. S△EAB＝63

第3题图 第4题图 第5题图

4. (2017黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE

⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为( )

A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54° 5. (2016绵阳)如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，AFAD＝2，则HF若BG

的值为( )

DFA. 23 B. 712 C. 12 D. 512

6. (2017张家界)如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC

绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为________．

1

第6题图 第7题图

7. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合)，连接AP，过点B作BH⊥AP，垂足为H，连接DH.若正方形的边长为4，则线段DH的最小值是________．

8. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F，连接BF交AE于点P，连接PD.

(1)求证：四边形ABEF是正方形；

(2)若AB＝4，AD＝7，求tan∠ADP的值．

第8题图

9. (2017福建)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长； (2)若AP＝2，求CF的长．

第9题图

10. (2017海南)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.

(1)求证：△1CDE≌△CBF； (2)当DE＝时，求CG的长；

(3)连接AG2

，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．

答案

基础达标训练

1. D 【解析】由题意知，四边形DBFE是平行四边形，要想成为菱形，只要有一组邻边相等即可，由BE平分∠ABC，可知

∠ABE＝∠CBE，再由DE∥BC，可得∠DEB＝∠CBE，所以 ∠ABE＝∠DEB，即BD＝DE，故选D.

2. D 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，

AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∵AC＝6，BD＝8，∴AO＝3，BO＝4，在

Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝5，∴菱形周长为4AB＝20 cm.

3. B 【解析】设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴CE＝1

BC＝3，∵在Rt△ECH中，根据勾股定理得EH2＝EC23＋CH2，即(9－x)2

＝32

＋x2

，解得x＝4，即CH＝4.

4. D 【解析】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定互相平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分的四边形为平行四边形，又∵对角线相等，则其为矩形，∴D正确，故选D.

5. B 【解析】如解图，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠D＝90°，∵E是边CD的中点，∴DE＝

12

CD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得AE＝AD2＋DE2＝10，∵S112×33△ABE＝2AB·CD＝2AE·BF，∴BF＝10

＝105.

第5题解图

6. D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵EB平分

∠AEC，∴∠AEB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴EC＝BC＝5，在

Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE＝EC2－CD2＝4，∴AE＝AD－DE＝1，∴S11

△ABE＝2AE·AB＝2

×1×3＝1.5.

7. D 【解析】∵O为AC的中点，OM∥AB，∴OM为△ACD的中位线，∴AB＝CD＝2OM＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝234，∴OB＝1

2

AC＝

34.

8. D 【解析】如解图，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，AC＝BD，∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∴∠E＝15°.

第8题解图

2

9. D 【解析】由题意得，菱形的边长为45

4＝5，设两条对

角线的长分别为m、n，则m＋n＝6，∵菱形两条对角线互相垂直平分，∴两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三

角形两条直角边的和为111212

2m＋2n＝3，两边平方得(2m)＋(2

n)＋

2·1112122

112m·2n＝9，而(2m)＋(2n)＝(5)，5＋2mn＝9，∴2mn＝4，即菱形的面积为4.

10. A 【解析】∵∠AEO＝120°，∴∠DEO＝60°，∵OE⊥BD，∴∠ADO＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OD＝OC＝OB，∴∠

EAO＝∠ADO＝30°，∴∠AOE＝30°＝∠EAO，∴AE＝EO，∵AC＝23，

∴OD＝3，在Rt△DOE中，OE＝OD·

tan∠EDO＝3·tan30°＝1，∴AE＝1，∵矩形ABCD关于对角线的交点O中心对称，∴FC＝AE＝1.

11. D 【解析】如解图，连接CF，∵四边形ABCD与四边形

CEFH都是正方形，∴∠DBC＝∠FCE＝45°，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BDC＝12S12

正方形ABCD＝2

×2＝2.

第11题解图

12. 50

13 【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，

∴OC＝12，OD＝5，AC⊥BD，∴AB＝CD＝13.在△ABD中，有AO·BD＝DH·AB，即12×10＝13DH，∴DH＝120

13

，在Rt△BDH中，由勾股

定理得BH＝BD2－DH2＝

102

－（12025013）＝13

.

13. 5 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF＝45°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝3，∵

△EFC的周长为12，∴FC＝12－3－EC＝9－EC，在Rt△EFC中，

EC2＝EF2＋FC2＝9＋(9－EC)2，解得EC＝5.

14. 6 【解析】由三角形的外角和性质得，∠AGC＝∠GAF＋∠F＝20°＋20°＝40°，∵∠ACG＝∠AGC，∴∠CAG＝180°－

∠ACG－∠AGC＝180°－2×40°＝100°，∴∠CAF＝∠CAG＋∠

GAF＝100°＋20°＝120°，∴∠BAC＝∠CAF－∠BAF＝120°－90°

＝30°，∴在Rt△ABC中，AC＝2BC＝2AD＝22，由勾股定理得AB＝AC2－BC2＝（22）2－（2）2

＝6.

15. 17 【解析】∵AC＝42

＋32

＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2，∠ADQ＝∠AQD，∵∠CQP＝∠AQD，∴∠ADQ＝∠CQP，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3－2＝1，∴AP＝AB2＋BP2＝42

＋12

＝17.

16. ①③④ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，

∴平行四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，故①正确；∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵正方形对角线将一组内角平分为两个45°的角，∴四边形ABCD不是正方形，故②不正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵OB＝OC，∴

AO＝CO＝BO＝DO，∴四边形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，即对角线互

相垂直，∴矩形ABCD是正方形，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，若AB＝AD，则AB＝CD＝AD＝BC，∴四边形ABCD为菱形，又∵AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形，故④正确．综上所述，其中正确的序号是①③④.

17. (1)证明：∵四边形ABCD、四边形ADEF都是菱形， ∴AB＝AD＝AF， ∴△ABF是等腰三角形， 又∵∠BAD＝∠FAD， ∴AD⊥BF；

(2)解：由(1)知AB＝AD＝AF， 又∵AB＝BC，BF＝BC， ∴AB＝AF＝BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠BAF＝60°， 又∵∠BAD＝∠FAD， ∴∠BAD＝30°， 又∵四边形ABCD是菱形，

3

∴∠ADC＋∠BAD＝180°， ∴∠ADC＝180°－∠BAD ＝150°.

18. 证明：如解图，延长AB，使BG＝BE，连接EG.

第18题解图

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，

∴∠AGE＝45°，AB＋BG＝BC＋BE，即AG＝CE， ∵CM为正方形外角的平分线， ∴∠ECF＝45°，

∵∠ABE＝90°，∠AEF＝90°，

∴∠AEB＋∠EAG＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°， ∴∠EAG＝∠FEC， 在△EAG和△FEC中，

???EAG＝?FEC?AG?CE， ???AGE＝?ECF∴△EAG≌△FEC(ASA)， ∴AE＝EF.

19. (1)证明：∵在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，

∴AC＝2DE，DE∥AC， ∵EF＝2DE， ∴AC＝EF，

又∵DE∥AC，即DF∥AC， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∴AF＝CE；

一题多解：∵在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴AC＝2DE，DE∥AC， ∴DF∥AC， ∴∠AEF＝∠EAC， 在△AEF和△EAC中，

??EF?AC?2DE??AEF＝?EAC， ??AE?EA∴△AEF≌△EAC(SAS)， ∴AF＝CE；

(2)解：当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形． 理由：∵点E是Rt△ABC斜边AB的中点， ∴AE＝CE＝BE， ∵∠B＝30°， ∴∠BCE＝30°，

∴∠ACE＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC＝CE，

由(1)知四边形ACEF是平行四边形， ∴四边形ACEF是菱形． 20. 证明：(1)∵CF∥BD， ∴∠DOE＝∠CFE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE，

在△ODE和△FCE中，

???DOF＝?CFE??DEO＝?CEF， ??DE?CE∴△ODE≌△FCE(AAS)； ∴OD＝FC；

(2)由(1)知OD＝FC，且CF∥BD， ∴四边形ODFC是平行四边形， ∵在矩形ABCD中，OC＝OD， ∴四边形ODFC是菱形．

21. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB，

4

∴BE＝CD，BE∥CD，

∴四边形BECD是平行四边形； (2)解：∵四边形BECD是平行四边形， ∴DB∥CE，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥CE. 在Rt△ACE中，

∵∠E＝60°，AC＝43，

∴CE＝

ACtanE＝433

＝4， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝CE＝4，

∴S11

菱形ABCD＝2AC·BD＝2×43×4＝83.

22. 解：(1)AG2＝GE2＋GF2； 理由：如解图，连接CG， ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG， ∴AG＝CG，

又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，