第四节 三角函数的图象与性质
A级·基础过关|固根基|
1.下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A．y＝sincos
22C．y＝tan 2x
xxB．y＝sinx
D．y＝sin 2x＋cos 2x
2
π2
解析：选A y＝sinx为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非
2偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
2．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
?ππ?A.?－，? ?22?
3π??C.?π，? 2??
B．[0，π] D.?
?3π，2π?
?
?2?
解析：选D 将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点?A.C.π
6π 3
B.D.
?4π，0?对称，那么|φ|的最小值为( )
?
?3?
π 4π 2
2π?4π??2π?解析：选A 由题意得，3cos?2×＋φ?＝3cos＋φ＋2π＝3cos?＋φ?＝0，
33???3?2ππ
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
32π
所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，
6π
得|φ|的最小值为.
6
π?π?4．(2020届安徽省示范高中名校联考)将函数y＝sin?2x－?的图象向左平移个单位长4?4?度，所得图象对应的函数在区间(－m，m)上无极值点，则m的最大值为( )
- 1 -
A.C.
π 83π 8
B.D.
π 4π 2
π?π?解析：选A 解法一：将函数y＝sin?2x－?的图象向左平移个单位长度后对应图象的4?4?π???π?π??解析式为y＝sin?2?x＋?－?＝sin?2x＋?.又此函数在区间(－m，m)上无极值点，所以
4?4?4????
Tππππππ
0<2m≤＝，所以0 2244444 π?ππ?πππππ2m＋∈?－，?，所以2m＋≤，所以m≤.所以0 4?4?442888选A. π?π?解法二：将函数y＝sin?2x－?的图象向左平移个单位长度后对应图象的解析式为y4?4?π???π?π??＝sin?2?x＋?－?＝sin?2x＋?.又此函数在区间(－m，m)上无极值点，所以函数在(－m， 4?4?4????π?Tπππ?m)上单调，故0<2m≤＝，所以0 2 2 4 4 ?4? m，m)上有极值点，则排除B，故选A. ?π?5．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在?－，0?上为减函数， ?4? 则θ的一个值为( ) π A．－ 3C.2π 3 πB．－ 6D.5π 6 π??解析：选D 由题意得f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin?2x＋θ＋?.因为函6??数f(x)为奇函数，所以θ＋ πππ ＝kπ，k∈Z，故θ＝－＋kπ，k∈Z.当θ＝－时，f(x)666 5π?π??π?＝2sin 2x，在?－，0?上为增函数，不合题意．当θ＝时，f(x)＝－2sin 2x，在?－，0? 6?4??4?上为减函数，符合题意．故选D. 6．函数y＝cos? ?π－2x?的单调递减区间为________． ? ?4? π??π??解析：因为y＝cos?－2x?＝cos?2x－?， 4??4?? - 2 - π 所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 4π5π 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 88 π5π??所以函数的单调递减区间为?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 88??π5π??答案：?kπ＋，kπ＋?(k∈Z) 88?? π??7．已知函数f(x)＝2sin?ωx－?＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常 6??数，且ω∈(1，2)，则函数f(x) 的最小正周期为________． π??解析：由函数f(x)＝2sin?ωx－?＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ6??ππ －＝kπ＋，k∈Z， 62 25∴ω＝k＋，又ω∈(1，2)，∴ω＝， 332π6π 从而得函数f(x)的最小正周期为＝. 5536π答案： 5 π??8．(2019届成都模拟)设函数f(x)＝sin?2x＋?.若x1x2<0，且f(x1)－f(x2)＝0，则|x23??－x1|的取值范围为________． π??解析：如图，画出f(x)＝sin?2x＋?的大致图象， 3?? 记M?0， ? ?π3??π3? ?，N?，?，则|MN|＝6.设点A，A′是平行于x轴的直线l与函数f(x)2??62? 图象的两个交点(A，A′位于y轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x1，x2，结合图形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x1|∈? 答案：? ?π，＋∞?. ? ?6? ?π，＋∞? ? ?6? - 3 - 9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)＋2cosx－2. (1)求f(x)的单调递增区间； 22 ?π3π?(2)当x∈?，?时，求函数f(x)的最大值和最小值． 4??4 π??解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?. 4??πππ (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 2423ππ 则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 88 3ππ??故f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z. 88?? ?π3π?(2)因为x∈?，?， 4??4 3ππ7π 所以≤2x＋≤， 444π?2?所以－1≤sin?2x＋?≤， 4?2?所以－2≤f(x)≤1，即当x∈? ?π，3π?时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2. ?4??4 2 10．(2019届安徽池州一模)已知函数f(x)＝3cosωx＋sin ωxcos ωx－最小正周期为π. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)> 2 ，求x的取值集合． 2 2 3 (ω>0)的2 解：(1)f(x)＝3cosωx＋sin ωxcos ωx－ 3313＝(1＋cos 2ωx)＋sin 2ωx－＝2222 π?312π?cos 2ωx＋sin 2ωx＝sin?2ωx＋?.因为f(x)最小正周期为＝π，所以ω＝1，故 3?222ω? f(x)＝sin?2x＋?.由＋2kπ≤2x＋≤ 3 ?? π?? π2π33ππ7π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k21212 ∈Z， π7π?＋kπ，＋kπ?所以函数f(x)的单调递减区间为??，k∈Z. 12?12?(2)f(x)>π?22ππ3π?，即sin?2x＋?>，由正弦函数的性质得，＋2kπ<2x＋<＋2kπ， 3?22434? - 4 -
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