注意到kAB=?
√22，所以kPO=√2，即直线PO：y=√2x．
√102√5√30√6，）所以，|PO|=5，|AO|=2． 55
将y=√2x代入椭圆方程，解得P（设圆心为D，则|DO|＝R﹣|PO|；
由勾股定理：R2＝|DO|2+|AO|2，即R=40． 21．（12分）已知函数f（x）＝x2ex+ax2+4ax（a∈R）． （1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在极值点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得当a＝1时，f′（x）＝2xex+x2ex+2x+4＝（xex+2）（x+2）， 令g（x）＝xex+2，则g′（x）＝（x+1）ex，
当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴??(??)??????=??(?1)=?+2＞0，故g（x）＝xex+2＞0， ∴当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增， ∴??(??)??????=??(?2)=4???2?4；
（2）f′（x）＝2xex+x2ex+2ax+4a＝（xex+2a）（x+2），令h（x）＝xex+2a（x＞0）， ①当a≥0时，h（x）＝xex+2a＞0，
又因为x+2＞0，故f′（x）＝（xex+2a）（x+2）＞0， 此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值；
②当a＜0时，h′（x）＝（x+1）ex＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增， 又h（0）＝2a＜0，h（﹣2a0＝﹣2a（e
﹣2a
9√301
??﹣1）＞0，
∴h（x）＝xex+2a在（0，+∞）上存在唯一零点，设为x0（x0＞0）， ∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∴当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上存在极值点x0， 综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0）．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
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??=2????????+2????????
22．（10分）已知在平面直角坐标系内，曲线C的参数方程为{（θ为参
??=?????????????????数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为????????(???
??
)=8√2． 4（1）把曲线C和直线l化为直角坐标方程；
（2）过原点O引一条射线分别交曲线C和直线l于A，B两点，射线上另有一点M满足|OA|2＝|OM|?|OB|，求点M的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．
??=2????????+2????????【解答】解：（1）曲线C的参数方程为{（θ为参数）．转换为直角坐
??=?????????????????标方程为
??28
+
??22
=1．
??4√2√2??+??=8√2，22
直线l的极坐标方程为????????(???)=8√2．转换为直角坐标方程为整理得x+y﹣16＝0．
（2）曲线C的直角坐标方程转换为极坐标方程为
(??????????)2
8
+
(??????????)2
2
=1，直线l的
直角坐标方程转换为极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝16， 设A（ρA，θ），B（ρB，θ），M（ρ，θ）， 由于M满足|OA|2＝|OM|?|OB|， 所以????2=???????，整理得????2=
??????2????????2??
8+22
1
=????????+????????，
16???
??????2??????????
所以????????+????????=16??(8+2)，
转换为直角坐标方程为x+y＝2x2+8y2， 即2x2+8y2﹣x﹣y＝0． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x+2|﹣3|x﹣1|． （1）求函数f（x）的最大值M； （2）已知a＞0，b＞0，a+4b＝M，求
????+2
+
2??
2??+1
的最大值．
???7，??＜?2
【解答】解：（1）函数f（x）＝2|x+2|﹣3|x﹣1|={5??+1，?2≤??≤1．
???+7，??＞1
所以函数f（x）的最大值M＝f（1）＝6；
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（2）
??
??+2
+
2??2??+1
=2???+2?2??+1=2﹣（
21
2
??+2
+
1
2??+1
），令x＝a+2，y＝2b+1，
由题意可得：x+2y＝10，x＞2，y＞1， 所以+
??2
1??
=（+）（
??
??
21??+2??
）=10（4+??+??）≥10(4+2√4)=5，
10
3
14????14
当且仅当x＝2y＝5时代号成立，此时a＝3，b=4， 所以
??+
2??
的最大值为：2?5=5．
46
??+2
2??+1
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