故MN的中点为E,|MN|=
|y3-y4|=.(10分)
由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|AB|2+|DE|2=
|MN|2,
|MN|,从而
即4(m2+1)2++=.
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)
16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:个端点构成正三角形.
+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标.
[答案] 16.查看解析
[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得
解得a2=6,b2=2,
所以椭圆C的标准方程是+=1.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).
则直线TF的斜率kTF==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.
当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得
消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.
所以y1+y2=,y1y2=,
x1+x2=m(y1+y2)-4=.
所以PQ的中点M的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM=-,
又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,
因此OT平分线段PQ.
(ii)由(i)可得,
|TF|=,
|PQ|=
=
==.
所以==≥=.
当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.
所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).
17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
[答案] 17.查看解析
[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,
∴a=3,b2=a2-c2=4,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设两切线为l1,l2,
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).
②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-y-y0=k(x-x0),与
+
=1联立,
,l1的方程为
整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,
∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,
∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,
∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,
同理,-是方程(
-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,
∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,
∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
检验P(±3,±2)满足上式.
综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近
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