(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
[答案] 19.查看解析
[解析] 19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.
设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得xP=,从而yP=,
∴点P的坐标为.
同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴=(k,-4),=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
故直线l的方程为y=-(x-1).
解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.
20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、
右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.
(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
[答案] 20.查看解析
[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF2==a.
又BF2=,故a=.
因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为+=1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,
且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.
21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:
-=1过点P且离心率为
.
(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
[答案] 21.查看解析
[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-·
·
=
(x-x0),即.由
x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=+(
,
=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=).
时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为
由题意知解得a2=1,b2=2,
故C1的方程为x2-=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.
由P(,
)在C2上,得+=1,
解得
=3,因此C2的方程为+=1.
显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+
,点A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,
因此
由x1=my1+,x2=my2+,得
因=(
-x1,-y1),=(-x2,-y2).
由题意知·=0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤
将①,②,③,④代入⑤式整理得
2m2-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为
x-y-=0或x+y-=0.
22.(2012太原高三月考，20,12分)
已知曲线C:x2+=1.
(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;
(Ⅱ)如果直线l的斜率为方程.
,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线C的
[答案] 22.(Ⅰ)设E(x0,y0),P(x,y),
则F(x0,0),∵=3,
∴(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),
∴代入曲线C中得x2+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)
①当λ=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)
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