【精品】2020年高考数学总复习专题讲义★☆
一．方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
c2a2?b2b2=1?()、 ①根据题意求出a,b,c的值，再由离心率的定义椭圆e=2=aa2a2c2a2?b2b2=1?()直接求解； 双曲线e=2=aa2a2②由题意列出含有a,b,c的方程(或不等式)，借助于椭圆b2＝a2－c2、双曲线b2＝c2－a2消去b，构造a,c的齐次式，求出e；
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标?a?x0?a等． 二．解题策略
类型一 直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e 【例1】【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知双曲线
，若点
的右焦点为抛物线
在该双曲线上，则双曲线的
的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为
离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】 设
，则
，所以抛物线的方程为
，
.
因为点到双曲线的一条渐近线的距离为
不妨设这条渐近线的方程为，即，则，
1
又点故故选B.
在双曲线上，所以
，即
.
，解得，
【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的齐次关系式,将用【举一反三】
1.【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线
的两个交点分别是
值范围是（ ） A．【答案】A 【解析】 因为抛物线将则因为所以
代入
，
是等边三角形，则
，
.
，即
，
得
，所以
，准线为
，
B．
C．
D．
，若存在抛物线使得
的值,可得；（2）建立
表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
的焦点为，其准线与双曲线是等边三角形，则双曲线的离心率的取
，不妨设为右支上的点，
因此双曲线的离心率为故选A
2. 【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：率为 A．
B．
C．2
D．
交于O，A，B三点，若
的垂心为的焦点，则的离心
【答案】B
2
【解析】
解：联立渐近线与抛物线方程得由三角形垂心的性质，得所以
，所以
，即，
，
，
，抛物线焦点为，
所以，所以的离心率为．
故选：B．
类型二 构造a，c的齐次式，解出e
【例2】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知双曲线
(a＞0，b＞0)的左、右焦点
，
分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，则双曲线的离心率等于_______． 【答案】2 【解析】 如图，由∴
由双曲线的定义可得∴在
中由余弦定理得
，
，可得
，
， ，
在
中由余弦定理得
，
∵∴整理得∴
，解得，
，
或
（舍去）．
，
∴双曲线的离心率等于2．
3
故答案为：2．
【指点迷津】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（然后根据余弦定理建立起
）来表示，
间的关系式，再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是
方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键.
【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2， P是它们的一个交点，且?F1PF2?曲线的离心率分别为e1,e2，则
?3，记椭圆和双
1的最大值是（ ） e1e2A.
2343 B. C. 2 D. 3 33【答案】A
4
【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出a1、a2与PF1、
PF2的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.
类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
【例3】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】椭圆：别为，，为椭圆上任一点，且椭圆的离心率的取值范围是_____. 【答案】【解析】
的最大值的取值范围是
，其中
的左、右焦点分
，则
5
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