三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、课前练习

1.1已知O是△ABC内的一点，若OA?OB?OC，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

1.2在△ABC中，有命题①AB?AC?BC；②AB?BC?CA?0；③若AB?AC?AB?AC?0，则△ABC为等腰三角形；④若AB?AC?0，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕

A、①② B、①④ C、②③ D、②③④

222???????ABAC?ABAC1例1、已知△ABC中，有?和??BC?0??,试判断△ABC的形状。 ??ABAC?ABAC2??练习1、已知△ABC中，AB?a，BC?b，B是△ABC中的最大角，若a?b?0，试判断△ABC的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足OA?BC?OB?AC?OC?AB，则O是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

222222???ABAC?例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足OP?OA?????,???0,???，

?ABAC???则动点P一定过△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足

1??OP?OA???AB?BC?,???0,???，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕

2??A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点

P满足

???ABAC?OP?OA?????,???0,???，则动点P一定过△ABC的〔 〕

?ABcosBACcosC???A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点

P

满足

???OB?OCABAC?OP??????,???0,???，则动点P一定过△ABC的〔 〕

2?ABcosBACcosC???A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且

11AM?x?AB,AN?y?AC，求证：??3

xy7、作业

1、已知O是△ABC内的一点，若OA?OB?OC?0，则O是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且OA?OB?OC?0，则OA?OB等于〔 〕

11A、 B、0 C、1 D、?

223、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若

a?OA?b?OB?c?OC?0，则O是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足AB?AC?3AP，则P是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OA?OB?OC?0，OA?OB?OC?1，求证：

△ABC为正三角形。

6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求OA?(OB?OC)

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