2019高考(押题)数学二轮复习 专题四 数列 2.4.2 数列的通项与求和学案 理

2.4.2 数列的通项与求和

1．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列?

an?

?的前n项和． ?2n＋1?

?

[解] (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1

＝2(n－1)．

2

两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．

2n－1

2

又由题设可得a1＝2也适合上式，从而{an}的通项公式为an＝.

2n－1(2)记?

an?

?的前n项和为Sn. ?2n＋1?

?

由(1)知＝

2n＋1

an2

n＋n－

11＝－， 2n－12n＋1

1111112n则Sn＝－＋－＋…＋－＝.

13352n－12n＋12n＋1

2．(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N)．

[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得

*

*

b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2.所以bn＝2n.

由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②

联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2. 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2， 数列{bn}的通项公式为bn＝2. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4

nn－1n，

有a2nb2n－1＝(3n－1)×4，故

Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，

4Tn＝2×4＋5×4＋8×4＋…＋(3n－4)×4＋(3n－1)×4上述两式相减，得

1

2

3

4

nn＋1

，

－3Tn＝2×4＋3×4＋3×4＋…＋3×4－(3n－1)×41)×4

n＋1

23nn＋1

＝

－41－4

n－4－(3n－

＝－(3n－2)×4

n＋1

－8.

3n－2n＋18得Tn＝×4＋.

33

3n－2n＋18

所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4＋. 33

1.高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用． 2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；

若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．

2