习题解答
如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③
根据条件①和②，电位的通解应取为
由条件③，有
两边同乘以，并从0到对积分，得到
故得到槽内的电位分布 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。
题图
上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。
解 应用叠加原理，设板间的电位
y 为 其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电
boy 位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电dy oy 位，其边界条件为： ① 题 图
②
③
根据条件①和②，可设的通解为 由条件③有
两边同乘以，并从0到对积分，得到
故得到
求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。 解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度
则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷
相应的电场储能为 其边缘电容为
如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位满足的边界条件为 ①
②
③
根据条件①和②，电位的通解应取为
由条件③，有
两边同乘以，并从0到对积分，得到
故得到槽内的电位分布为 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密题图
度为
的电荷。求体积内的电位。
解 在体积内，电位满足泊松方程 （1）
长方体表面上，电位满足边界条件。由此设电位的通解为
代入泊松方程（1），可得
由此可得 或
（2） 由式（2），可得
故
如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。求板间的电位函数。
解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。 电位的边界条件为
①
②
③
由条件①和②，可设电位函数的通解为 题 图
由条件③，有
（1） （2） 由式（1），可得
（3） 将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有 （4） 由式（3）和（4）解得
故
如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。求槽内的电位函数。 解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个
区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面
上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度，电位的边界条件为 ① ， b ②
③
由条件①和②，可设电位函数的通解为
由条件③，有 （1）
（2） 由式（1），可得
（3）
将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有
（4） 由式（3）和（4）解得
故
若以为界将场空间分割为和两个区域，则可类似地得到
题图
如题图所示，在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。 解 在外电场作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为（常数的值由参考点确定），而感应电荷的电位应与一样按变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以满足的边界条件为
①
②
由此可设 由条件①，有
于是得到
故圆柱外的电位为
若选择导体圆柱表面为电位参考点，即，则。
题图 导体圆柱外的电场则为
导体圆柱表面的电荷面密度为 在介电常数为的无限大的介质中，沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位函数。
解 在电场的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化，则空腔内、外的电位分别为和的边界条件为 ① 时，；
② 时，为有限值； ③ 时， ，
由条件①和②，可设
带入条件③，有 ， 由此解得 ，
所以
一个半径为、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆
柱面，如题图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地， 第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱面内部的电位函数。 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 ① 为有限值；
题图
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