高二级期末数学考试题（理科）
一．选择题（每题5分）
1．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 C．14
解析：选B 由S5＝＝13.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝( ) A．41 C．49
解析：选C 设Sn＝An＋Bn，
??S3＝9A＋3B＝9，
由题知，?
?S5＝25A＋5B＝25，?
22
B．13 D．15
＋a4
2
?25＝
＋a4
2
?a4＝7，所以7＝3＋2d?d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2
B．48 D．56
解得A＝1，B＝0，
∴S7＝49. 3．数列{1＋2A．1＋2
n
n－1
}的前n项和为( )
B．2＋2 D．n＋2＋2
n－1
nn
C．n＋2－1
解析：选C 由题意得an＝1＋21－2n
所以Sn＝n＋＝n＋2－1.
1－2
n
n
，
nπ*
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N，则S2 016＝（ ）
2A．0
B．1 D 2
nπ*
，n∈N，显然每连续四项的和为0. 2
C -1 解析：a n＝sin
S2 016＝S4×504＝0. 答案：A
5．下列命题中，正确的是( ) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b ab
C．若2<2，则a
cc
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
ab
解析：选C 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc?a cc又c>0，∴a 6．已知a＋b＝t(a＞0，b＞0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝( ) A．2 C．22 B．4 D．25 2 解析：选C 因为a>0，b>0时，有ab≤t2 ＝2，t＝8，所以t＝8＝22. 4 2 ＋4 2 tt ＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以42 2 xyxy 7．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的( ) 25925－k9－k A．长轴长相等 C．离心率相等 2 2222 B．短轴长相等 D．焦距相等 解析：选D c＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两个曲线的焦距相等． xy 8．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的面积为( ) 167A．C． 21 221 8 2 2 2 21B． 4 D．21 2b711721 解析：选A 依题意得|AB|＝＝，|F1F2|＝216－7＝6，因此△ABF2的面积等于|AB|×|F1F2|＝××6＝. a22222xy 9．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( ) 412A．23 C．3 B．2 D．1 2 2 解析：选A 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±3x，焦点为(±4,0)，故焦点到渐近线的距离d＝23. 10．已知双曲线x＋my＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( ) A．4 1C．－ 4 1B． 4 D．－4 2 2 2 解析：选C 依题意得m＜0，双曲线方程是x－＝1，于是有 1－m y 2 11－＝2×1，m＝－. m4 11．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( ) A．圆 C．双曲线 B．椭圆 D．抛物线 解析：选D 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． xy 12．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，EF1·EF2的最大值、最小值分别 98为( ) A．9,7 C．9,8 B．8,7 D．17,8 2 2 解析：选B 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF28212222 ＝(1－x，－y)，EF1·EF2＝x－1＋y＝x－1＋8－x＝x＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小 99 值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8，故选B. 二．填空（每空5分） 13．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________________． yx 解析：设双曲线的标准方程为2－2＝1， ab 2 2 ??c＝5， 由题意得?a ＝2??b ??a＋b＝5， ?? ?a＝2b? 2 22 ??a＝4， ??2 ?b＝1，? 2 y2 所以双曲线的标准方程为－x＝1. 4y2 答案：－x＝1 4 x 14．已知x>0，则2的最大值为________． x＋4x14 解析：因为2＝，又x＞0时，x＋≥2 x＋44x x＋ xx1即2的最大值为. x＋44 1答案： 4 xy 15．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________． 54解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)． y＝－??22 由方程组?xy ＋＝1??54 ， 2 2 2 4411 x×＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0<≤，xx44 x＋x 1 消去y，整理得3x－5x＝0. 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 5 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0. 3则|AB|＝＝＝ ＋k 2 1 1 －x2 2 ＋ 2 －y2 2 ＋x2－4x1x2] ＋255 3 2 ??5?2－4×0?＝55. ??3??3???? 答案： 16．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 解析：∵an＋1－an＝2， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 n n ＝2 n－1 ＋2 n－2 2－2nn ＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2. 1－2 2 n 2－2n＋1 ∴Sn＝＝2－2. 1－2答案：2 n＋1 n＋1 －2 三．解答题（共60分） 17．（10分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1. 解：(1)∵S1＝a1＝1， 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列， ∴Sn－1 n＝2 ， 又当n≥2时，an－1 －2 n＝Sn－Sn－1＝2－2 n＝2 n－2 . 当n＝1时a1＝1，不适合上式． ∴a??1，n＝1，n＝??n－2 ?2，n≥2. (2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， n n ∴a－4 －3＋a5＋…＋a2n＋1＝ 1－4 ＝3 . n－2 2n＋1 ∴a＋1 1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋ 3 ＝3 . 18（12分）已知数列{an2 ＋n* n} 的前n 项和Sn＝2，n∈N . (1)求数列{an} 的通项公式； (2)设bn n＝2an＋(－1)an ，求数列{bn} 的前2n 项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 2 当n≥2时，an＋n － 2 ＋－ n＝Sn－Sn－1＝2－2 ＝n. 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知，an n n＝n，故bn＝2＋(－1)n. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T1 2 2n 2n＝(2＋2＋…＋2)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21 ＋22 ＋…＋22n ，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则 2n A＝ －21－2 ＝2 2n＋1 －2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{b}的前2n项和TA＋B＝22n＋1 n2n＝＋n－2. 19（12分）如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACBBC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2. (1)证明：DE⊥平面PCD； π 2 .D，E分别为线段AB，＝
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