第五节 数列的综合应用
题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用
[典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )
A．60里 C．36里
B．48里 D．24里
(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元 的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
1
[解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列{an}，
2
设等比数列的首项为a1，则
a1?1－6?2
??
1?
?
11－2
＝378，
11
解得a1＝192，所以a4＝192×＝24，a5＝24×＝12，
82则a4＋a5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
1＋p[1－1＋p＝a·
1－1＋p＝[(1＋p)－(1＋p)] ＝[(1＋p)－1－p]．
[答案] (1)C (2)[(1＋p)－1－p] [方法技巧]
1．数列与数学文化解题3步骤 读懂题意 构建模型 求解模型 会脱去数学文化的背景，读懂题意 由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型 利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式 4
] apap5
5
ap5
1
2.解答数列应用题需过好“四关” 审题关 建模关 求解关 还原关 [针对训练] 1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )
A．9日 C．16日
B．8日 D．12日
仔细阅读材料，认真理解题意 将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列 求解该数列问题 将所求的结果还原到实际问题中 解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1＝97，d＝－0.5.设第m天相逢，则
a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋
mm－1×13
2
＋97m＋
mm－1×－0.5
2
＝
2×1 125，解得m1＝9或m2＝－40(舍去)，故选A.
2．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是( )
A．11 C．15
B．13 D．17
解析：选B 设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1
?q??q?…，a＝a(1＋2)×(1＋1)×?1＋1?×?1＋12?×?1＋13?＋q)，a2＝a1?1＋?＝a(1＋q)?1＋?，5?2??2??2??2??2???????
405
＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 32
题型二 数列中的新定义问题
[典例] 若数列{an}满足
1
an＋1an1*
－＝d(n∈N，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，
?1?
已知正项数列??为“调和数列”，且
?bn?
b1＋b2＋…＋b2 019＝20 190，则b2b2 018的最大值是
________．
?1?
[解析] 因为数列??是“调和数列”，
?bn?
所以bn＋1－bn＝d，即数列{bn}是等差数列，
2
2 019b1＋b2 0192 019b2＋b2 018
所以b1＋b2＋…＋b2 019＝＝＝20 190，
22所以b2＋b2 018＝20.
1
又>0，所以b2>0，b2 018>0，
bn所以b2＋b2 018＝20≥2b2b2 018，
即b2b2 018≤100(当且仅当b2＝b2 018时等号成立)， 因此b2b2 018的最大值为100. [答案] 100 [方法技巧]
新定义数列问题的特点及解题思路
新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
[针对训练]
1．定义一种运算“※”，对于任意n∈N均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n＋2)※2 019＝(2n)※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.
解析：设an＝(2n)※2 019，则由运算性质(1)知a1＝1， 由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3. 所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 025
2．定义各项为正数的数列{pn}的“美数”为列{an}的“美数”为
*
np1＋p2＋…＋pn(n∈N)．若各项为正数的数
*
1an＋1111
，且bn＝，则＋＋…＋＝________. 2n＋14b1b2b2b3b2 018b2 019
1
解析：因为各项为正数的数列{an}的“美数”为，
2n＋1所以
na1＋a2＋…＋an＝
1. 2n＋1
设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n(2n＋1)，
Sn－1＝(n－1)[2(n－1)＋1]＝2n2－3n＋1(n≥2)，
所以an＝Sn－Sn－1＝4n－1(n≥2)．
3
11
又＝，所以a1＝3，满足式子an＝4n－1， a13所以an＝4n－1(n∈N)． 又bn＝所以
*
an＋1
4＋
，所以bn＝n， ＋…＋
1
＝
111111＋＋…＋＝1－＋－＋…＋1×22×32 018×2 019223
11
b1b2b2b3b2 018b2 019
1112 018
－＝1－＝. 2 0182 0192 0192 019
2 018
答案：
2 019
题型三 数列与函数的综合问题
[典例] (1)(2019·重庆模拟)已知f(x)＝x＋aln x在点(1，f(1))处的切线方程为4x1－y－3＝0，an＝f′(n)－n(n≥1，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是( )
2
A．S2 018－1 B．S2 018>ln 2 018＋1 D．ln 2 018>S2 017 2 (2)(2019·昆明模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3－x)＝f(x)， f(－1)＝3，数列{an}满足a1＝1且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则f(a36)＋f(a37)＝________. a1 [解析] (1)由题意得f′(x)＝2x＋，∴f′(1)＝2＋a＝4，解得a＝2.∴an＝f′(n) x2 2?1?1* －n＝?2n＋?－n＝(n≥1，n∈N)．设g(x)＝ln(x＋1)－x，则当x∈(0,1)时，g′(x)＝ n?2?n1－x1 －1＝<0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x) nn123n23n?n? 111 1) xxx11?1?上单调递增， ∴h(x)>h(1)＝0，即ln x>1－，x∈(1，＋∞)．令x＝1＋，则ln?＋1? xn?n? ＝ln ＋1 n＋11234n＋11111 >，∴ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln >＋＋…＋＋，故ln(n＋1)>Snnn＋1123n23nn＋1 －1.故选A. (2)因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3 ＋x)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(3－x)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是以6为周期的周期函数．由an＝n(an＋1－an)可得 an＋1n＋1anan－1an－2a2 ＝，则an＝···…··a1＝annan－1an－2an－3a1 4 n－1n－2n－32····…·×1＝n，即an＝n，所以a36＝36，a37＝37，又因为f(－1)n－1n－2n－3n－41 ＝3，f(0)＝0，所以f(a36)＋f(a37)＝f(0)＋f(1)＝f(1)＝－f(－1)＝－3. [答案] (1)A (2)－3 [方法技巧] 数列与函数综合问题的类型及注意点 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研类型 究数列问题 (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形； 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问注意点 题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决 [针对训练] 1．(2019·玉溪模拟)函数y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝( ) A．18 C．24 2 2 2 nB．21 D．30 2 解析：选B ∵函数y＝x(x>0)的导函数为y′＝2x，∴函数y＝x(x>0)的图象在点(ak， 2a2k)处的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)．令y＝0，可得x＝ak，即ak＋1＝ak，∴数列{an}为 1 212 ?1?n－1 等比数列，an＝16×??，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.故选B. ?2? 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N)在函数y＝3×2的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( ) A．Sn＝2Tn C．Tn>an B．Tn＝2bn＋1 D．Tn x* * x解析：选D 因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2的图象上， 所以Sn＋3＝3×2，即Sn＝3×2－3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2－3－(3×2又当n＝1时，a1＝S1＝3，所以an＝3×2设bn＝b1qn－1 n－1 nn－1 nn－3)＝3×2 n－1 ， . ，则b1qn－1 ＋b1q＝3×2 n－1 nn－1 ，可得b1＝1，q＝2， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2. n由等比数列前n项和公式可得Tn＝2－1. 综合选项可知，只有D正确． 5
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