(4)不等式 的证明方法较多，也应放手让学生去探讨.
(5)用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论 .
(6)本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神.
教学设计示例
教学目标
理解 及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。
教学重点难点
重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。
难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。
教学过程
一、复习引入
我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。
当 时，则有：
那么 与 及 的大小关系怎样?
这需要讨论 当
当
当
综上可知：
我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下?
.
当 时，有： 或 .
二、引入新课
由上可知，积的绝对值等于绝对值的积;商的绝对值等于绝对值的商。
那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗?
1.定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想
.
怎么证明你的结论呢?
用分析法，要证 .
只要证
即证
即证 ，
而 显然成立，
故
那么怎么证 ?
同样可用分析法
当 时，显然成立，
当 时，要证
只要证 ，
即证
而 显然成立。
从而证得 .
还有别的证法吗?(学生讨论，教师提示)
由 与 得 .
当我们把 看作一个整体时，上式逆用 可得什么结论?
。
能用已学过得的 证明 吗?
可以 表示为 .
即 (教师有计划地板书学生分析证明的过程)
就是含有绝对值不等式的重要定理，即 .
由于定理中对 两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢? 个实数和的绝对值呢?
亦成立
这就是定理的一个推论，由于定理中对 没有特殊要求，如果用 代换 会有什么结果?(请一名学生到黑板演)
，
用 代 得 ，
即 。
这就是定理的推论 成立的充要条件是什么?
那么 成立的充要条件是什么?
.
例1 已知 ，求证 . (由学生自行完成，请学生板演)
证明：
例2 已知 ，求证 .
证明：
点评：这是为今后学习极限证明做准备，要习惯和“配凑”的方法。
例3 求证 .
证法一：(直接利用性质定理)在 时，显然成立.
当 时，左边
.
证法二：(利用函数的单调性)研究函数 在 时的单调性。
设 ，
, 在 时是递增的.
又 ，将 ， 分别作为 和 ，则有
(下略)
证法三：(分析法)原不等式等价于 ，
只需证 ，
即证
又 ，
显然成立.
原不等式获证。
还可以用分析法证得 ，然后利用放缩法证得结果。
三、随堂练习
1.①已知 ，求证 .
②已知 求证 .
2.已知 求证：
① ;
② .
3.求证 .
答案：1. 2. 略
3. 与 同号
四、小结
1.定理 . 把 、 、 ?看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.
2.平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理 及其推论。
3.对 要特别重视.
五、布置作业
1.若 ，则不列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
2.设 为满足 的实数，那么( )
A. B.
C. D.
3.能使不等式 成立的正整数 的值是__________.
4.求证：
(1) ;
(2) .
5.已知 ，求证 .
答案：1. D 2. B 3.1、2、3
4.
5.
=
注：也可用分析法.
六、板书设计
6.5（一）
1．复习
2．定理
推论
例1
例2
例3
课堂训练
《绝对值的定义》教学设计
动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学学习活动应当是一个生动活拨的、主动的和富有个性的过程。我们激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验。学生是数学学习的主任，教师应该怎么成为数学学习的组织者、引导者与合作者呢？
先看教学片段：
师：同学们，上新课之前老师先了解一下，你们的家在学校的哪一边？
生：（七嘴八舌，有的说在南边，有的说在北边，有的说在东边……）
师：不管我们的家住在学校的哪一边，家和学校有没有一定的距离？
生：有。
师：同学们再想一想，从车站开出两辆计程车，一辆往东、一辆往西，车上的乘客是不是都要按里程付费？
生：是。不管往哪个方向开，都要按行车里程收费。
师：体育课上我们投铅球，你可以在规定的范围内朝任意一个方向投，铅球的着落点和你的投球地点有没有一定的距离？
生：有。无论投到哪个方向，它们之间都有距离。
师：同学们，以上我们举的例子都是日常生活中经常出现的量：家到学校的路程、计程车的计费、投铅球的距离等等，它们和方向有关吗？
生：都没有关系。
师：请同学们画一条数轴，并观察表示3的点与原点之间有几个单位长度？
生画并回答：3个单位长度。
师：还有哪一个数表示的点与原点也相距3个单位长度？
生：表示―3的点与原点也相距3个单位长度。
师：同学们说得非常好！所以我们说+3和―3的绝对值相等，+5和―5的绝对值相等（指着数轴）。同学们，就刚才我们所讲的内容，请大家猜一猜：什么是绝对值呢？大家分组讨论。
生1：我认为绝对值是指两个地方间的距离。
生2：我认为绝对值是指两个点之间的距离。
师：谁能联系数轴再说一说？
生3：我认为一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点之间的距离。
师：这位同学说的非常好，你们能把自己的理解和你的同桌交流一下吗？
教学片段
师：前面，我们探索了绝对值的几何意义和代数意义，现在请同学们把自己最喜欢的数写给同桌，由同桌来写出该数的绝对值，看谁写得又快又对！（学生很兴奋，都想难住对方，教师在巡视中发现有学生写出|a|=a）
师：同学们写得很快很好，老师看到有同学这样写：|a|=a，你们同意他的意见吗？
生4：我不同意，我认为|a|也可以等于0。
师：你为什么有这种想法呢？
生5：因为a是一个字母，可以表示正数，也可以是0。当a是正数时，|a|=a;当a=0时，|a|=0。
生6：a可以是一个负数吗？
生7：当然可以。
生6：当a是负数时，|a|应当等于什么呢？
（引起大家争论）
生8：还等于a。
生9：等于a的相反数。
师：为什么？
生9：因为负数的绝对值等于它的相反数。所以当a是负数时，|a|=―a。
生10：（疑问地）老师，绝对值不是表示距离吗？距离难道还有负的？
师：距离当然没有负的，谁能帮这位同学解决这个问题？
生9：（立即做出反应）a表示负数，―a当然表示正数了。
生11：（不甘示弱）比如说a是―2，那么―a=-（-2）=2，所以-a表示正数。
生10：那为什么“-a”带“-”号呢？
生11：带“-”号就一定是负数吗？比如说-（-2）就表示正数。
很多同学鼓掌赞同，学生的脸上洋溢着兴奋的笑容）
我们的反思：
一、充分发挥学生的主体性，让学生无拘无束、畅所欲言
在以往的教学中，如果出示问题后，老师就说谁能回答下列问题，学生或摇头或思考，因为是数学课吗，你回答问题后，自然给出绝对值的概念。而我在教学过程中，结合学生实际情况给枯燥的数学概念赋予生活的意味，贴近学生生活，使学生不再被动地接受知识，可以有自己独到的见解，学生也可以大胆说出心中的想法。
在实施新课程的过程中，我们让数学课堂教学成为一个充满生命力的过程，努力给学生创造充分的从事数学活动的时间和空间，让学生在自主探究、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法，在亲身体验和探索中认识数学，解决问题；在合作交流、与人分享和独立思考的氛围中倾听、质疑、说服、推广，直至豁然开朗，从而不断得到成功的体验，达到数学学习的新境界。
二、激励学生去发现问题、解决问题
《新课程标准》明确地把“形成解决问题的一些基本策略”作为一个重要的课程目标。为此数学教学中设置一些具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考，提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索，用“试一试，你能行”、“请与同学交流你的想法”等语言鼓励学生进行交流，使学生在探索的过程中进一步理解。
三、面向每一个学生，使每个人都获得成功
课堂教学中，我投入一“石”，激起了学生学习的“千层浪”，使得课堂变成了学生思维操练的场所。教师引导学生去寻找和发现，自己只是一个组织者和参与者，和学生一起共同探索。学生真正成为学习的主任，学生不仅积极地参与每一个教学环节，情绪高昂，切身感受了学习的快乐，品尝了学生求知、参与、成功、交流和自尊的需要。我鼓励学生“你学会多少就汇报多少……”这充分调动了学生学习的积极性、主动性，大大引发了学生潜在的创造动因，创设了有利于个性发展的情境，因而引出了不同的学习结果，激发了学生学习的兴趣，提高了课堂效率。
四、培养良好的思维品质
良好的数学思维品质不仅包括认知领域内的思维，也包括思维过程中的意志力、直觉力、想象力等，而这些能力仅仅靠会解题是不可获得的。
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