第七章 线性规划模型

数学建模

第七章7.2

数学规划模型

7.1 奶制品的生产与销售自来水输送与货机装运

7.37.4 7.5

汽车生产与原油采购接力队选拔和选课策略 饮料厂的生产与检修

7.6 钢管和易拉罐下料y

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数学规划模型实际问题中 的优化模型 x~决策变量

Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n ) s.t. g i ( x) 0, i 1,2, mf(x)~目标函数

T

gi(x) 0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划

决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得

重点在模型的建立和结果的分析

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4.1 奶制品的生产与销售企业生产计划 空间层次

工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。 本节课题

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例1 加工奶制品的生产计划1桶 牛奶 或 12小时 8小时 3公斤A1 获利24元/公斤

4公斤A2

获利16元/公斤

每天： 50桶牛奶

时间480小时 至多加工100公斤A1

制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？

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8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2

1桶 牛奶 或

12小时

3公斤A14公斤A2

获利24元/公斤获利16元/公斤

目标函数

获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72x1 64x2 原料供应

x1 x2 5012x1 8x2 480

约束条件

劳动时间 加工能力 非负约束

3x1 100 x1 , x2 0

线性 规划 模型 (LP)

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模型分析与假设比 xi对目标函数的 例 “贡献”与xi取值 性 成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续

线性规划模型A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数

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模型求解x1 x2 50

图解法

约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数

l1 : x1 x2 50

x2 Al1 B l2 C Z=3600 l3

Max z 72x1 64x2z=c (常数) ~等值线

0

l5Z=0

x1 D Z=2400

在B(20,30)点得

到最优解 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。

目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线

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模型求解max 72x1+64x2 st1)

软件实现

LINDO 6.1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 3360.000

2)x1+x2<503)12x1+8x2<480 4)3x1<100 end DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No

VARIABLEX1 X2

VALUE20.000000 30.000000

REDUCED COST0.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000

4)

40.0000002

0.000000

NO. ITERATIONS=

20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2,利润3360元。

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结果解释max 72x1+64x2st 2)x1+x2<50OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000

VARIABLEX1 X2

VALUE20.000000 30.000000

REDUCED COST0.000000 0.000000

3)12x1+8x2<4804)3x1<100 end 三 种 资 源 原料无剩余

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000

时间无剩余加工能力剩余40

4)

40.0000002

0.000000

NO. ITERATIONS=

―资源” 剩余为零的约束为紧约束(有效约束)

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OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 3360.000 VALUE 20.000000 30.000000 REDUCED COST 0.000000 0.000000 DUAL PRICES

结果解释最优解下“资源”增加 1单位时“效益”的增 量

VARIABLE X1 X2

ROW SLACK OR SURPLUS

影子价格

2)3) 4)

0.0000000.000000 40.000000

48.0000002.000000 0.000000

原料增加1单位, 利润增长48时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润

NO. ITERATIONS=

2

35元可买到1桶牛奶，要买吗？

35 <48, 应该买！

聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！

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最优解不变时目标函 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 数系数允许变化范围OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000

DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?

Yes

(约束条件不变) x1系数范围(64,96)

64.000000 8.000000 16.000000 x2系数范围(48,72) RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

23 4

50.000000480.000000 100.000000

10.00000053.333332 INFINITY

6.66666780.000000 40.000000

x1系数由24 3=72 增加为30 3=90, 在允许范围内

A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划

不变！

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结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000

(目标函数不变)

64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

23 4

50.000000480.000000 100.000000

10.00000053.333332 INFINITY

6.66666780.000000 40.000000

原料最多增加10时间最多增加53

35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买10桶!

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例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工1桶 牛奶 或 3千克A1 12小时 1千克 获利24元/公斤

2小时,3元 获利16元/公斤 8小时 4公斤A2 1千克 获利32元/千克 0.75千克B2 50桶牛奶, 480小时 2小时,3元

0.8千克B1

获利44元/千克

至多100公斤A1

制订生产计划，使每天净利润最大

30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投 资？现投资150元，可赚回多少？ B1,B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？

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1桶 牛奶 或

12小时

3千克 A1 1千克

获利24元/千克0.8千克 B1

2小时,3元 获利16元/kg 8小时 4千克 A21千克

获利44元/千克

决策 变量 目标 函数 约束 条件

2小时,3元 出售x1 千克 A1, x2 千克 A2, X3千克 B1, x4千克 B2 x5千克 A1加工B1, x6千克 A2加工B2 利润

0.75千克 B2

获利32元/千克

Max z 24x1 16x2 44x3 32x4 3x5 3x6x1 x5 x 2 x6 加工能力 50 3 4 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 )x1 x5 100

原料 供应劳动 时间

x3 0.8x5

2 x5 2 x6 480

非负约束

x4 0.75x6 x1 , x6 0

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OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 软件实现 LINDO 6.1 VARIABLE VALUE REDUCED COST x1 x5 x2 x6 X1 0.000000 1.680000 2) 50 X2 168.000000 0.000000 3 4 X3 19.200001 0.000000 0.000000 0.000000 2) 4x1 3x2 4x5 3x6 600 X4 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 3) 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 ) ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 x5 2 x6 480 2) 0.000000 3.160000 0.000000 3.260000 3) 4x1 2x2 6x5 4x6 480 3) 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 DO RANGE 6) 0.000000 32.000000 (SENSITIVITY) NO. ITERATIONS= 2 ANALYSIS? No

模型求解

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OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2

结果解释每天销售168 千克A2 和19.2 千克B1, 利润3460.8(元) 8桶牛奶加工成A1,42桶 牛奶加工成A2, 将得到的24千克A1全部 加工成B1 除加工能力外均 为紧约束

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30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间， 应否投资？现投资150元，可赚回多少？

结果解释

OBJECTIVE FUNCTION VALUE x1 x5 x2 x6 2 ) 50 1) 3460.800 3 4 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 2) 4x1 3x2 4x5 3x6 600 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 增加1桶牛奶使利润增 X4 0.000000 0.000000 长3.16×12=37.92 X5 24.000000 0.000000 增加1小时时间使利 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 润增长3.26 2) 0.000000 3.160000 投资150元增加5桶牛奶， 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 可赚回189.6元。(大于 5) 0.000000 44.000000 增加时间的利润增长) 6) 0.000000 32.000000

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结果解释

B1,B2的获利有10%的波动，

对计划有无影响RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES

DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF X1 24.000000 INCREASE 1.680000 DECREASE INFINITY

B1获利下降10%,超 出X3 系数允许范围 B2获利上升10%,超 出X4 系数允许范围 波动对计划有影响

X2X3 X4

16.00000044.000000 32.000000

8.15000019.750002 2.026667

2.1000003.166667 INFINITY

X5 -3.000000 X6 -3.000000 …… ……

15.800000 1.520000

2.533334 INFINITY

生产计划应重新制订：如将x3的系数改为39.6 计算，会发现结果有很大变化。

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4.2

自来水输送与货机装运运输问题

生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点， 怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制， 如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。

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