湖北高三数学中档题训练4

江陵县实验高中高三数学中档题专项训练（7）

1. 阅读下面材料：(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 根据两角和与差的正弦公式，有

sin(???)?sin?cos??cos?sin?------①

sin(???)?sin?cos??cos?sin?------②

由①+② 得sin??????sin??????2sin?cos?------③ 令????A,????B 有??代入③得 sinA?sinB?2sinA?B,??A?B22A?B22A?B2

cosA?B. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两

sinA?B2角和与差的余弦公式，证明:cosA?cosB??2sin;

(Ⅱ)若?ABC的三个内角A,B,C满足cos2A?cos2B?1?cos2C,试判断?ABC的形状.

2如图，四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，AB//CD，AB?AD，?PAB和?PAD是

两个边长为2的正三角形，DC?4，O为BD的中点，E为PA的中点． P (Ⅰ)求证：PO?平面ABCD； (Ⅱ)求证：OE//平面PDC；

E (Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

AB O D

C3 已知F1(?1,0),F2(1,0)为平面内的两个定点，动点P满足PF1?PF2?22,记点P的轨迹为曲线?．（Ⅰ）求曲线?的方程；（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线??????????????上的不同三点，且OA?OB?OC?0．（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为

定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．

4．设函数f(x)的图象是由函数g(x)?cosx?变换得到：（1）将函数g(x)的图象向右平移坐标不变），得到函数h(x)的图象；

1（2）将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0?m?)倍（横坐标不变），

223sinxcosx?12的图象经下列两个步骤

?12个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵

并将图象向上平移1个单位，得到函数f(x)的图象．

（Ⅰ）求f(x)的表达式；

（Ⅱ）判断方程f(x)?x的实根的个数，证明你的结论；

（Ⅲ）设数列{an}满足a1?0,an?1?f(an)，试探究数列{an}的单调性，并加以证明．

1解法一：(Ⅰ)证明:因为cos(???)?cos?cos??sin?sin?，------①

cos?(???)co?sc?o?s?sin，?------②…………………2分

①-② 得cos(???)?cos(???)??2sin?sin?.------③……3分 令????A,????B有??代入③得cosA?cosB??2sinA?B2A?B2,??sinA?B2A?B2，

.………6分

(Ⅱ)由二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为

1?2si2nA??12sBin?2?1?12sinA?sinC?sinB.10分 2C,9si分所以n222设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c， 由正弦定理可得a2?c2?b2.………12分

根据勾股定理的逆定理知?ABC为直角三角形.…3分 解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为

nA?B? ?2si?s?inA?B???1?122sCin，………8分

因为A,B,C为?ABC的内角，所以A?B?C??，

所以?sin?A?B?sin?A?B??sin2?A?B?.

又因为0?A?B??，所以sin?A?B??0,所以sin?A?B??sin?A?B??0. 从而2sinAcosB?0.……10分又sinA?0,所以cosB?0，故?B?所以?ABC为直角三角形. …13分

2（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF?AB

∵AB?AD，AB?AD，AB//DC，∴四边形ABFD为正方形， ∵O为BD的中点，∴O为AF,BD的交点， ∵PD?PB?2， PO?BD， ∵BD?∴PO?AD?AB22?2.12分

PEAOBy?22， 2，AO?2PB?BO22?2122DBD?2，

xF C在三角形PAO中，PO?AO?PA?4，∴PO?AO，…………4分 ∵AO?BD?O，∴PO?平面ABCD； …………5分

(Ⅱ)方法1：连接PF，∵O为AF的中点，E为PA中点，∴OE//PF， ∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，

∴OE//平面PDC. …9分

方法2：由(Ⅰ)知PO?平面ABCD，又AB?AD，所以过O分别做AD,AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得A(?1,?1,0)，B(?1,1,0)，D(1,?1,0)F(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0,0,2)，

????????????112,)，PF?(1,1,?2)，PD?(1,?1,?2)，E(?,?,)，则OE?(?,?222222?????????1???PC?(1,3,?2).∴OE??PF∴OE//PF∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，

2112∴OE//平面PDC； …………9分

?(Ⅲ) 设平面PDC的法向量为n?(x1,y1,z1)，直线CB与平面PDC所成角θ，

?????????n?PC?0?x1?3y1?2z1?0?y1?0则??????，即?，解得?，令z1?1， ?????x1?2z1?n?PD?0?x1?y1?2z1?0?????则平面PDC的一个法向量为n?(2,0,1)，又CB?(?2,?2,0) ?????则sinθ?cos?n,CB??223?22?33，

33∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为. …………12分

3．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理

论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点P到两定点F1(1,0),F2(?1,0)的距离之和为定值22， 所以点P的轨迹是以F1(1,0),F2(?1,0)为焦点的椭圆．…2分又a?x222，c?1，所以

b?1，故所求方程为

2?y?1．…4分

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)．

?????????????由OA?OB?OC?0，得x1?x2?x3?0，y1?y2?y3?0．…………5分

（ⅰ）可设直线AB的方程为y?kx?n(k?0)，

代入x?2y?2并整理得，(1?2k)x?4knx?2n?2?0， 依题意，??0，则 x1?x2??4kn2222221?2k4kn2n1,?)k??从而可得点C的坐标为(，． OC221?2k1?2k2k，y1?y2?k(x1?x2)?2n?2n1?2k2，

因为kAB?kOC??12，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．………8分

（ⅱ）若AB?x轴时，A(?1,22),B(?1,?22?????????????),由OA?OB?OC?0，

得点C(2,0)，所以点C不在椭圆?上，不合题意．因此直线AB的斜率存在．…9分

4k22由（ⅰ）可知，当直线AB过点F1时, 有n?k，点C的坐标(16k4221?2k,?2k1?2k2 )．

代入x?2y?2得，

22(1?2k)?8k22222?2，即4k?1?2k，

(1?2k)所以k??2222． ……11分

（1）当k?时，由（ⅰ）知，k?kOC??12，从而kOC??22．

故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高

h?12?22?2422，所求等腰三角形的面积S?12?1?24?28．

（2）当k??时，又由（ⅰ）知，k?kOC??12，从而kOC?22，

同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

28．

综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)．

28．……13分

?????????????由OA?OB?OC?0得：x1?x2?x3?0，y1?y2?y3?0．…………5分

22（ⅰ）因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在椭圆上，所以有：x1?2y1?2，

x2?2y2?2，两式相减，得(x1?x2)(x1?x2)?2(y1?y2)(y1?y2)?0，

22从而有

y1?y2x1?x2?y1?y2x1?x2??12．又y1?y2??y3，kOC?y3x3，

所以kAB?kOC??12，即直线AB与OC的斜率之积为定值．…8分

121?cos2x232124．解:(Ⅰ)g?x??cos2x?1233sinxcosx???sin2x? 2分

?cos2x????sin2x?sin?2x??3分?h?x??sinx,4分f26???x??msinx?1.5分

(Ⅱ)方程f(x)?x有且只有一个实根. ……………6分

理由如下：由(Ⅰ)知f?x??msinx?1，令F?x??f?x??x?msinx?x?1, 因为F?0??1?0,又因为0?m?12,所以F??3?????m??1???0. ?2222??所以F?x??0在?0,?????至少有一个根. …………7分

2?12?0,所以函数F?x?在R上单调递减,

又因为F'?x??mcosx?1?m?1??所以函数F?x?在R上有且只有一个零点，即方程f?x??x有且只有一个实根. 9分

(Ⅲ)因为a1?0,an?1?f?an??msinan?1,所以a2?1?a1,

?又 a3?msin1?1，因为0?1?，所以0?sin1?1，所以a3?1?a2．

2由此猜测an?an?1(n?2),即数列?an?是单调递增数列. 11分 以下用数学归纳法证明:n?N,且n?2时,an?an?1?0成立. (1)当n?2时,a2?1,a1?0,显然有a2?a1?0成立.

(2)假设n?k(k?2)时,命题成立，即ak?ak?1?0(k?2)．……12分 则n?k?1时,ak?1?f?ak??msinak?1，因为0?m?ak?f?ak?1??msinak?1?1?m?1?0?ak?1?ak?12?1?12，所以

?2x在0,?．又sin?2?上单调递增，

saikn??1?2ak?，所以sin?1fa(saikn?1?0所以msinak??1m，

，1即

sinak?1?msian?k?1k?1?)ka?，即0n?k?1时,命题成立. …13分综合(1) ,(2)，

n?N,且n?2时, an?an?1成立. 故数列?an?为单调递增数列. 14分

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